Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14066 / 10826
↖ ↑ ↗
← N 51.984880°
W 25.466308°		 ← 752.33 m → N 51.984880°
W 25.455323°		 →
↑
752.42 m
↓
↑
752.42 m
↓
N 51.978114°
W 25.466308°		 ← 752.44 m →
566 108 m²		 N 51.978114°
W 25.455323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429275512695312 y=0.330398559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429275512695312 × 215)
    floor (0.429275512695312 × 32768)
    floor (14066.5)     		tx = 14066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330398559570312 × 215)
    floor (0.330398559570312 × 32768)
    floor (10826.5)     		ty = 10826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14066 / 10826 ti = "15/14066/10826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14066/10826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14066 ÷ 215
    14066 ÷ 32768     		x = 0.42926025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10826 ÷ 215
    10826 ÷ 32768     		y = 0.33038330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    -0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33038330078125 × 2 - 1) × π
    0.3392333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06573315235309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44447093} λ = -0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06573315235309))-π/2
    2×atan(2.90296652079571)-π/2
    2×1.23905182323615-π/2
    2.47810364647229-1.57079632675     		φ = 0.90730732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90730732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.984880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14066 KachelY 10826 -0.44447093 0.90730732 -25.466308 51.984880
    Oben rechts KachelX + 1 14067 KachelY 10826 -0.44427919 0.90730732 -25.455323 51.984880
    Unten links KachelX 14066 KachelY + 1 10827 -0.44447093 0.90718922 -25.466308 51.978114
    Unten rechts KachelX + 1 14067 KachelY + 1 10827 -0.44427919 0.90718922 -25.455323 51.978114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90730732-0.90718922) × R
    0.00011810000000001 × 6371000     		dl = 752.415100000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90730732-0.90718922) × R
    0.00011810000000001 × 6371000     		dr = 752.415100000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(0.90730732) × R
    0.000191739999999996 × 0.615869402861357 × 6371000     		do = 752.330998369824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44447093--0.44427919) × cos(0.90718922) × R
    0.000191739999999996 × 0.615962443445532 × 6371000     		du = 752.444654471678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90730732)-sin(0.90718922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615869402861357-0.615962443445532)×R²
    abs(-0.44427919--0.44447093)×9.30405841742532e-05×R²
    0.000191739999999996×9.30405841742532e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.30405841742532e-05×40589641000000     		ar = 566107.962313836m²