Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14065 / 7312
↖ ↑ ↗
← N 70.080562°
W 25.477295°		 ← 416.21 m → N 70.080562°
W 25.466308°		 →
↑
416.22 m
↓
↑
416.22 m
↓
N 70.076819°
W 25.477295°		 ← 416.29 m →
173 250 m²		 N 70.076819°
W 25.466308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429244995117188 y=0.223159790039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429244995117188 × 215)
    floor (0.429244995117188 × 32768)
    floor (14065.5)     		tx = 14065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223159790039062 × 215)
    floor (0.223159790039062 × 32768)
    floor (7312.5)     		ty = 7312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14065 / 7312 ti = "15/14065/7312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14065/7312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14065 ÷ 215
    14065 ÷ 32768     		x = 0.429229736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7312 ÷ 215
    7312 ÷ 32768     		y = 0.22314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22314453125 × 2 - 1) × π
    0.5537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7395342134126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44466268} λ = -0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7395342134126))-π/2
    2×atan(5.69469029446562)-π/2
    2×1.39696643904527-π/2
    2.79393287809054-1.57079632675     		φ = 1.22313655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22313655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.080562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14065 KachelY 7312 -0.44466268 1.22313655 -25.477295 70.080562
    Oben rechts KachelX + 1 14066 KachelY 7312 -0.44447093 1.22313655 -25.466308 70.080562
    Unten links KachelX 14065 KachelY + 1 7313 -0.44466268 1.22307122 -25.477295 70.076819
    Unten rechts KachelX + 1 14066 KachelY + 1 7313 -0.44447093 1.22307122 -25.466308 70.076819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22313655-1.22307122) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dl = 416.217429999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22313655-1.22307122) × R
    6.53299999999746e-05 × 6371000     		dr = 416.217429999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44466268--0.44447093) × cos(1.22313655) × R
    0.000191749999999991 × 0.340698528676901 × 6371000     		do = 416.210695048933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44466268--0.44447093) × cos(1.22307122) × R
    0.000191749999999991 × 0.340759949425581 × 6371000     		du = 416.285729046285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22313655)-sin(1.22307122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340698528676901-0.340759949425581)×R²
    abs(-0.44447093--0.44466268)×6.14207486802631e-05×R²
    0.000191749999999991×6.14207486802631e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.14207486802631e-05×40589641000000     		ar = 173249.761122628m²