Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14062 / 7474
↖ ↑ ↗
← N 69.465263°
W 25.510254°		 ← 428.50 m → N 69.465263°
W 25.499268°		 →
↑
428.58 m
↓
↑
428.58 m
↓
N 69.461408°
W 25.510254°		 ← 428.58 m →
183 661 m²		 N 69.461408°
W 25.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429153442382812 y=0.228103637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429153442382812 × 215)
    floor (0.429153442382812 × 32768)
    floor (14062.5)     		tx = 14062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228103637695312 × 215)
    floor (0.228103637695312 × 32768)
    floor (7474.5)     		ty = 7474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14062 / 7474 ti = "15/14062/7474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14062/7474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14062 ÷ 215
    14062 ÷ 32768     		x = 0.42913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7474 ÷ 215
    7474 ÷ 32768     		y = 0.22808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22808837890625 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7084711024588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44523792} λ = -0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7084711024588))-π/2
    2×atan(5.52051472077375)-π/2
    2×1.39159693625267-π/2
    2.78319387250535-1.57079632675     		φ = 1.21239755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21239755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.465263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14062 KachelY 7474 -0.44523792 1.21239755 -25.510254 69.465263
    Oben rechts KachelX + 1 14063 KachelY 7474 -0.44504618 1.21239755 -25.499268 69.465263
    Unten links KachelX 14062 KachelY + 1 7475 -0.44523792 1.21233028 -25.510254 69.461408
    Unten rechts KachelX + 1 14063 KachelY + 1 7475 -0.44504618 1.21233028 -25.499268 69.461408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21239755-1.21233028) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dl = 428.577169999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21239755-1.21233028) × R
    6.72699999999526e-05 × 6371000     		dr = 428.577169999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44523792--0.44504618) × cos(1.21239755) × R
    0.000191739999999996 × 0.350775202603175 × 6371000     		do = 428.498407538573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44523792--0.44504618) × cos(1.21233028) × R
    0.000191739999999996 × 0.350838197453025 × 6371000     		du = 428.575360506296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21239755)-sin(1.21233028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350775202603175-0.350838197453025)×R²
    abs(-0.44504618--0.44523792)×6.2994849849729e-05×R²
    0.000191739999999996×6.2994849849729e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.2994849849729e-05×40589641000000     		ar = 183661.125063958m²