Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14062 / 18522
↖ ↑ ↗
← N 78.010748°
W141.377563°		 ← 63.45 m → N 78.010748°
W141.374817°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.010178°
W141.377563°		 ← 63.45 m →
4 022 m²		 N 78.010178°
W141.374817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107288360595703 y=0.141315460205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107288360595703 × 217)
    floor (0.107288360595703 × 131072)
    floor (14062.5)     		tx = 14062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141315460205078 × 217)
    floor (0.141315460205078 × 131072)
    floor (18522.5)     		ty = 18522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14062 / 18522 ti = "17/14062/18522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14062/18522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14062 ÷ 217
    14062 ÷ 131072     		x = 0.107284545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18522 ÷ 217
    18522 ÷ 131072     		y = 0.141311645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107284545898438 × 2 - 1) × π
    -0.785430908203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46750397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141311645507812 × 2 - 1) × π
    0.717376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25370539873732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46750397} λ = -2.46750397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25370539873732))-π/2
    2×atan(9.52295689448005)-π/2
    2×1.46617037060812-π/2
    2.93234074121623-1.57079632675     		φ = 1.36154441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46750397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.377563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36154441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.010748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14062 KachelY 18522 -2.46750397 1.36154441 -141.377563 78.010748
    Oben rechts KachelX + 1 14063 KachelY 18522 -2.46745603 1.36154441 -141.374817 78.010748
    Unten links KachelX 14062 KachelY + 1 18523 -2.46750397 1.36153446 -141.377563 78.010178
    Unten rechts KachelX + 1 14063 KachelY + 1 18523 -2.46745603 1.36153446 -141.374817 78.010178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36154441-1.36153446) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dl = 63.3914500009387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36154441-1.36153446) × R
    9.95000000014734e-06 × 6371000     		dr = 63.3914500009387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46750397--2.46745603) × cos(1.36154441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207728193082918 × 6371000     		do = 63.4455370911717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46750397--2.46745603) × cos(1.36153446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20773792602917 × 6371000     		du = 63.448509783483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36154441)-sin(1.36153446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207728193082918-0.20773792602917)×R²
    abs(-2.46745603--2.46750397)×9.73294625178367e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.73294625178367e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.73294625178367e-06×40589641000000     		ar = 4021.99881404429m²