Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14061 / 10862
↖ ↑ ↗
← N 51.740636°
W 25.521240°		 ← 756.47 m → N 51.740636°
W 25.510254°		 →
↑
756.56 m
↓
↑
756.56 m
↓
N 51.733832°
W 25.521240°		 ← 756.58 m →
572 352 m²		 N 51.733832°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429122924804688 y=0.331497192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429122924804688 × 215)
    floor (0.429122924804688 × 32768)
    floor (14061.5)     		tx = 14061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331497192382812 × 215)
    floor (0.331497192382812 × 32768)
    floor (10862.5)     		ty = 10862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14061 / 10862 ti = "15/14061/10862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14061/10862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14061 ÷ 215
    14061 ÷ 32768     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10862 ÷ 215
    10862 ÷ 32768     		y = 0.33148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33148193359375 × 2 - 1) × π
    0.3370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0588302388078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0588302388078))-π/2
    2×atan(2.88299659849888)-π/2
    2×1.23692039245806-π/2
    2.47384078491611-1.57079632675     		φ = 0.90304446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90304446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.740636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14061 KachelY 10862 -0.44542967 0.90304446 -25.521240 51.740636
    Oben rechts KachelX + 1 14062 KachelY 10862 -0.44523792 0.90304446 -25.510254 51.740636
    Unten links KachelX 14061 KachelY + 1 10863 -0.44542967 0.90292571 -25.521240 51.733832
    Unten rechts KachelX + 1 14062 KachelY + 1 10863 -0.44523792 0.90292571 -25.510254 51.733832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90304446-0.90292571) × R
    0.000118750000000056 × 6371000     		dl = 756.556250000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90304446-0.90292571) × R
    0.000118750000000056 × 6371000     		dr = 756.556250000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44523792) × cos(0.90304446) × R
    0.000191749999999991 × 0.619222283744068 × 6371000     		do = 756.466246296353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44523792) × cos(0.90292571) × R
    0.000191749999999991 × 0.619315523747349 × 6371000     		du = 756.580151944032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90304446)-sin(0.90292571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619222283744068-0.619315523747349)×R²
    abs(-0.44523792--0.44542967)×9.32400032809255e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32400032809255e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32400032809255e-05×40589641000000     		ar = 572352.35523756m²