Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14061 / 10859
↖ ↑ ↗
← N 51.761040°
W 25.521240°		 ← 756.12 m → N 51.761040°
W 25.510254°		 →
↑
756.17 m
↓
↑
756.17 m
↓
N 51.754240°
W 25.521240°		 ← 756.24 m →
571 805 m²		 N 51.754240°
W 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429122924804688 y=0.331405639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429122924804688 × 215)
    floor (0.429122924804688 × 32768)
    floor (14061.5)     		tx = 14061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331405639648438 × 215)
    floor (0.331405639648438 × 32768)
    floor (10859.5)     		ty = 10859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14061 / 10859 ti = "15/14061/10859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14061/10859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14061 ÷ 215
    14061 ÷ 32768     		x = 0.429107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10859 ÷ 215
    10859 ÷ 32768     		y = 0.331390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    -0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331390380859375 × 2 - 1) × π
    0.33721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05940548160324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44542967} λ = -0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05940548160324))-π/2
    2×atan(2.88465549861087)-π/2
    2×1.2370984538162-π/2
    2.47419690763239-1.57079632675     		φ = 0.90340058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90340058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.761040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14061 KachelY 10859 -0.44542967 0.90340058 -25.521240 51.761040
    Oben rechts KachelX + 1 14062 KachelY 10859 -0.44523792 0.90340058 -25.510254 51.761040
    Unten links KachelX 14061 KachelY + 1 10860 -0.44542967 0.90328189 -25.521240 51.754240
    Unten rechts KachelX + 1 14062 KachelY + 1 10860 -0.44523792 0.90328189 -25.510254 51.754240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90340058-0.90328189) × R
    0.000118689999999977 × 6371000     		dl = 756.173989999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90340058-0.90328189) × R
    0.000118689999999977 × 6371000     		dr = 756.173989999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44542967--0.44523792) × cos(0.90340058) × R
    0.000191749999999991 × 0.618942613454188 × 6371000     		do = 756.124590093177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44542967--0.44523792) × cos(0.90328189) × R
    0.000191749999999991 × 0.61903583251821 × 6371000     		du = 756.238470160634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90340058)-sin(0.90328189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618942613454188-0.61903583251821)×R²
    abs(-0.44523792--0.44542967)×9.32190640219321e-05×R²
    0.000191749999999991×9.32190640219321e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.32190640219321e-05×40589641000000     		ar = 571804.805471048m²