Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14060 / 7379
↖ ↑ ↗
← N 69.828260°
W 25.532227°		 ← 421.26 m → N 69.828260°
W 25.521240°		 →
↑
421.31 m
↓
↑
421.31 m
↓
N 69.824471°
W 25.532227°		 ← 421.34 m →
177 501 m²		 N 69.824471°
W 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429092407226562 y=0.225204467773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429092407226562 × 215)
    floor (0.429092407226562 × 32768)
    floor (14060.5)     		tx = 14060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225204467773438 × 215)
    floor (0.225204467773438 × 32768)
    floor (7379.5)     		ty = 7379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14060 / 7379 ti = "15/14060/7379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14060/7379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14060 ÷ 215
    14060 ÷ 32768     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7379 ÷ 215
    7379 ÷ 32768     		y = 0.225189208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225189208984375 × 2 - 1) × π
    0.54962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72668712431442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72668712431442))-π/2
    2×atan(5.62199804258906)-π/2
    2×1.39476468376574-π/2
    2.78952936753148-1.57079632675     		φ = 1.21873304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21873304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.828260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14060 KachelY 7379 -0.44562142 1.21873304 -25.532227 69.828260
    Oben rechts KachelX + 1 14061 KachelY 7379 -0.44542967 1.21873304 -25.521240 69.828260
    Unten links KachelX 14060 KachelY + 1 7380 -0.44562142 1.21866691 -25.532227 69.824471
    Unten rechts KachelX + 1 14061 KachelY + 1 7380 -0.44542967 1.21866691 -25.521240 69.824471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21873304-1.21866691) × R
    6.61299999999976e-05 × 6371000     		dl = 421.314229999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21873304-1.21866691) × R
    6.61299999999976e-05 × 6371000     		dr = 421.314229999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44542967) × cos(1.21873304) × R
    0.000191749999999991 × 0.344835271510304 × 6371000     		do = 421.264302461374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44542967) × cos(1.21866691) × R
    0.000191749999999991 × 0.344897344554807 × 6371000     		du = 421.340133328905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21873304)-sin(1.21866691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344835271510304-0.344897344554807)×R²
    abs(-0.44542967--0.44562142)×6.20730445023421e-05×R²
    0.000191749999999991×6.20730445023421e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.20730445023421e-05×40589641000000     		ar = 177500.619594768m²