Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14060 / 21724
↖ ↑ ↗
← S 50.485474°
W 25.532227°		 ← 777.30 m → S 50.485474°
W 25.521240°		 →
↑
777.20 m
↓
↑
777.20 m
↓
S 50.492463°
W 25.532227°		 ← 777.18 m →
604 069 m²		 S 50.492463°
W 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429092407226562 y=0.662979125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429092407226562 × 215)
    floor (0.429092407226562 × 32768)
    floor (14060.5)     		tx = 14060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662979125976562 × 215)
    floor (0.662979125976562 × 32768)
    floor (21724.5)     		ty = 21724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14060 / 21724 ti = "15/14060/21724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14060/21724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14060 ÷ 215
    14060 ÷ 32768     		x = 0.4290771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21724 ÷ 215
    21724 ÷ 32768     		y = 0.6629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4290771484375 × 2 - 1) × π
    -0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.325927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0239321758844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44562142} λ = -0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0239321758844))-π/2
    2×atan(0.359179801555672)-π/2
    2×0.344829294505537-π/2
    0.689658589011074-1.57079632675     		φ = -0.88113774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88113774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.485474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14060 KachelY 21724 -0.44562142 -0.88113774 -25.532227 -50.485474
    Oben rechts KachelX + 1 14061 KachelY 21724 -0.44542967 -0.88113774 -25.521240 -50.485474
    Unten links KachelX 14060 KachelY + 1 21725 -0.44562142 -0.88125973 -25.532227 -50.492463
    Unten rechts KachelX + 1 14061 KachelY + 1 21725 -0.44542967 -0.88125973 -25.521240 -50.492463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88113774--0.88125973) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dl = 777.198290000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88113774--0.88125973) × R
    0.000121990000000016 × 6371000     		dr = 777.198290000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44562142--0.44542967) × cos(-0.88113774) × R
    0.000191749999999991 × 0.636273831554846 × 6371000     		do = 777.29708637525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44562142--0.44542967) × cos(-0.88125973) × R
    0.000191749999999991 × 0.636179716013685 × 6371000     		du = 777.182111136133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88113774)-sin(-0.88125973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636273831554846-0.636179716013685)×R²
    abs(-0.44542967--0.44562142)×9.41155411610106e-05×R²
    0.000191749999999991×9.41155411610106e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.41155411610106e-05×40589641000000     		ar = 604069.287823041m²