Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14058 / 4327
↖ ↑ ↗
← N 78.684026°
W 25.554199°		 ← 239.70 m → N 78.684026°
W 25.543213°		 →
↑
239.74 m
↓
↑
239.74 m
↓
N 78.681870°
W 25.554199°		 ← 239.74 m →
57 471 m²		 N 78.681870°
W 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429031372070312 y=0.132064819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429031372070312 × 215)
    floor (0.429031372070312 × 32768)
    floor (14058.5)     		tx = 14058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132064819335938 × 215)
    floor (0.132064819335938 × 32768)
    floor (4327.5)     		ty = 4327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14058 / 4327 ti = "15/14058/4327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14058/4327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14058 ÷ 215
    14058 ÷ 32768     		x = 0.42901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4327 ÷ 215
    4327 ÷ 32768     		y = 0.132049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44600491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132049560546875 × 2 - 1) × π
    0.73590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31190079487607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44600491} λ = -0.44600491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31190079487607))-π/2
    2×atan(10.0935922808686)-π/2
    2×1.4720458222146-π/2
    2.94409164442921-1.57079632675     		φ = 1.37329532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44600491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37329532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.684026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14058 KachelY 4327 -0.44600491 1.37329532 -25.554199 78.684026
    Oben rechts KachelX + 1 14059 KachelY 4327 -0.44581317 1.37329532 -25.543213 78.684026
    Unten links KachelX 14058 KachelY + 1 4328 -0.44600491 1.37325769 -25.554199 78.681870
    Unten rechts KachelX + 1 14059 KachelY + 1 4328 -0.44581317 1.37325769 -25.543213 78.681870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37329532-1.37325769) × R
    3.76300000000107e-05 × 6371000     		dl = 239.740730000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37329532-1.37325769) × R
    3.76300000000107e-05 × 6371000     		dr = 239.740730000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44600491--0.44581317) × cos(1.37329532) × R
    0.000191739999999996 × 0.196219533284272 × 6371000     		do = 239.696982330278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44600491--0.44581317) × cos(1.37325769) × R
    0.000191739999999996 × 0.196256431617777 × 6371000     		du = 239.742056431954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37329532)-sin(1.37325769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196219533284272-0.196256431617777)×R²
    abs(-0.44581317--0.44600491)×3.6898333504648e-05×R²
    0.000191739999999996×3.6898333504648e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.6898333504648e-05×40589641000000     		ar = 57470.5325791216m²