Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14058 / 3578
↖ ↑ ↗
← N 80.189951°
W 25.554199°		 ← 208.13 m → N 80.189951°
W 25.543213°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 80.188079°
W 25.554199°		 ← 208.17 m →
43 325 m²		 N 80.188079°
W 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429031372070312 y=0.109207153320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429031372070312 × 215)
    floor (0.429031372070312 × 32768)
    floor (14058.5)     		tx = 14058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109207153320312 × 215)
    floor (0.109207153320312 × 32768)
    floor (3578.5)     		ty = 3578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14058 / 3578 ti = "15/14058/3578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14058/3578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14058 ÷ 215
    14058 ÷ 32768     		x = 0.42901611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3578 ÷ 215
    3578 ÷ 32768     		y = 0.10919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42901611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1419677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44600491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10919189453125 × 2 - 1) × π
    0.7816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45551974613776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44600491} λ = -0.44600491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45551974613776))-π/2
    2×atan(11.6524883110685)-π/2
    2×1.48518750043285-π/2
    2.97037500086569-1.57079632675     		φ = 1.39957867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44600491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39957867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.189951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14058 KachelY 3578 -0.44600491 1.39957867 -25.554199 80.189951
    Oben rechts KachelX + 1 14059 KachelY 3578 -0.44581317 1.39957867 -25.543213 80.189951
    Unten links KachelX 14058 KachelY + 1 3579 -0.44600491 1.39954600 -25.554199 80.188079
    Unten rechts KachelX + 1 14059 KachelY + 1 3579 -0.44581317 1.39954600 -25.543213 80.188079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39957867-1.39954600) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39957867-1.39954600) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44600491--0.44581317) × cos(1.39957867) × R
    0.000191739999999996 × 0.170382327336497 × 6371000     		do = 208.134883522534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44600491--0.44581317) × cos(1.39954600) × R
    0.000191739999999996 × 0.170414519545813 × 6371000     		du = 208.174208738013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39957867)-sin(1.39954600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170382327336497-0.170414519545813)×R²
    abs(-0.44581317--0.44600491)×3.21922093160509e-05×R²
    0.000191739999999996×3.21922093160509e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.21922093160509e-05×40589641000000     		ar = 43325.4058827883m²