Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14057 / 3528
↖ ↑ ↗
← N 80.283104°
W 25.565185°		 ← 206.19 m → N 80.283104°
W 25.554199°		 →
↑
206.17 m
↓
↑
206.17 m
↓
N 80.281250°
W 25.565185°		 ← 206.23 m →
42 513 m²		 N 80.281250°
W 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.429000854492188 y=0.107681274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.429000854492188 × 215)
    floor (0.429000854492188 × 32768)
    floor (14057.5)     		tx = 14057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107681274414062 × 215)
    floor (0.107681274414062 × 32768)
    floor (3528.5)     		ty = 3528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14057 / 3528 ti = "15/14057/3528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14057/3528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14057 ÷ 215
    14057 ÷ 32768     		x = 0.428985595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3528 ÷ 215
    3528 ÷ 32768     		y = 0.107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428985595703125 × 2 - 1) × π
    -0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107666015625 × 2 - 1) × π
    0.78466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46510712606177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44619666} λ = -0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46510712606177))-π/2
    2×atan(11.7647423949972)-π/2
    2×1.48600041418243-π/2
    2.97200082836486-1.57079632675     		φ = 1.40120450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40120450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.283104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14057 KachelY 3528 -0.44619666 1.40120450 -25.565185 80.283104
    Oben rechts KachelX + 1 14058 KachelY 3528 -0.44600491 1.40120450 -25.554199 80.283104
    Unten links KachelX 14057 KachelY + 1 3529 -0.44619666 1.40117214 -25.565185 80.281250
    Unten rechts KachelX + 1 14058 KachelY + 1 3529 -0.44600491 1.40117214 -25.554199 80.281250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40120450-1.40117214) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dl = 206.165560000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40120450-1.40117214) × R
    3.23600000000646e-05 × 6371000     		dr = 206.165560000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44619666--0.44600491) × cos(1.40120450) × R
    0.000191750000000046 × 0.168780045691613 × 6371000     		do = 206.188328433717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44619666--0.44600491) × cos(1.40117214) × R
    0.000191750000000046 × 0.168811941358279 × 6371000     		du = 206.227293432022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40120450)-sin(1.40117214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168780045691613-0.168811941358279)×R²
    abs(-0.44600491--0.44619666)×3.18956666666426e-05×R²
    0.000191750000000046×3.18956666666426e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.18956666666426e-05×40589641000000     		ar = 42512.9488211976m²