Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14056 / 3560
↖ ↑ ↗
← N 80.223588°
W 25.576172°		 ← 207.44 m → N 80.223588°
W 25.565185°		 →
↑
207.44 m
↓
↑
207.44 m
↓
N 80.221722°
W 25.576172°		 ← 207.48 m →
43 035 m²		 N 80.221722°
W 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428970336914062 y=0.108657836914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428970336914062 × 215)
    floor (0.428970336914062 × 32768)
    floor (14056.5)     		tx = 14056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108657836914062 × 215)
    floor (0.108657836914062 × 32768)
    floor (3560.5)     		ty = 3560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14056 / 3560 ti = "15/14056/3560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14056/3560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14056 ÷ 215
    14056 ÷ 32768     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3560 ÷ 215
    3560 ÷ 32768     		y = 0.108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    0.78271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4589712029104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4589712029104))-π/2
    2×atan(11.692775856134)-π/2
    2×1.48548103459157-π/2
    2.97096206918315-1.57079632675     		φ = 1.40016574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40016574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.223588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14056 KachelY 3560 -0.44638841 1.40016574 -25.576172 80.223588
    Oben rechts KachelX + 1 14057 KachelY 3560 -0.44619666 1.40016574 -25.565185 80.223588
    Unten links KachelX 14056 KachelY + 1 3561 -0.44638841 1.40013318 -25.576172 80.221722
    Unten rechts KachelX + 1 14057 KachelY + 1 3561 -0.44619666 1.40013318 -25.565185 80.221722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40016574-1.40013318) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dl = 207.439759999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40016574-1.40013318) × R
    3.25599999999593e-05 × 6371000     		dr = 207.439759999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44619666) × cos(1.40016574) × R
    0.000191749999999991 × 0.169803812128263 × 6371000     		do = 207.439001695502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44619666) × cos(1.40013318) × R
    0.000191749999999991 × 0.169835899198243 × 6371000     		du = 207.478200519607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40016574)-sin(1.40013318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169803812128263-0.169835899198243)×R²
    abs(-0.44619666--0.44638841)×3.20870699796749e-05×R²
    0.000191749999999991×3.20870699796749e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.20870699796749e-05×40589641000000     		ar = 43035.1624278551m²