Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14056 / 3530
↖ ↑ ↗
← N 80.279395°
W 25.576172°		 ← 206.27 m → N 80.279395°
W 25.565185°		 →
↑
206.29 m
↓
↑
206.29 m
↓
N 80.277540°
W 25.576172°		 ← 206.31 m →
42 555 m²		 N 80.277540°
W 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428970336914062 y=0.107742309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428970336914062 × 215)
    floor (0.428970336914062 × 32768)
    floor (14056.5)     		tx = 14056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107742309570312 × 215)
    floor (0.107742309570312 × 32768)
    floor (3530.5)     		ty = 3530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14056 / 3530 ti = "15/14056/3530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14056/3530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14056 ÷ 215
    14056 ÷ 32768     		x = 0.428955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3530 ÷ 215
    3530 ÷ 32768     		y = 0.10772705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428955078125 × 2 - 1) × π
    -0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10772705078125 × 2 - 1) × π
    0.7845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46472363086481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44638841} λ = -0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46472363086481))-π/2
    2×atan(11.7602315377966)-π/2
    2×1.48596804489701-π/2
    2.97193608979403-1.57079632675     		φ = 1.40113976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40113976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.279395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14056 KachelY 3530 -0.44638841 1.40113976 -25.576172 80.279395
    Oben rechts KachelX + 1 14057 KachelY 3530 -0.44619666 1.40113976 -25.565185 80.279395
    Unten links KachelX 14056 KachelY + 1 3531 -0.44638841 1.40110738 -25.576172 80.277540
    Unten rechts KachelX + 1 14057 KachelY + 1 3531 -0.44619666 1.40110738 -25.565185 80.277540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40113976-1.40110738) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dl = 206.292979999637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40113976-1.40110738) × R
    3.2379999999943e-05 × 6371000     		dr = 206.292979999637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44638841--0.44619666) × cos(1.40113976) × R
    0.000191749999999991 × 0.168843856561027 × 6371000     		do = 206.266282296311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44638841--0.44619666) × cos(1.40110738) × R
    0.000191749999999991 × 0.168875771586749 × 6371000     		du = 206.305270944397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40113976)-sin(1.40110738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168843856561027-0.168875771586749)×R²
    abs(-0.44619666--0.44638841)×3.19150257213074e-05×R²
    0.000191749999999991×3.19150257213074e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.19150257213074e-05×40589641000000     		ar = 42555.307593921m²