Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14055 / 10793
↖ ↑ ↗
← N 52.207607°
W 25.587158°		 ← 748.62 m → N 52.207607°
W 25.576172°		 →
↑
748.66 m
↓
↑
748.66 m
↓
N 52.200874°
W 25.587158°		 ← 748.74 m →
560 504 m²		 N 52.200874°
W 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428939819335938 y=0.329391479492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428939819335938 × 215)
    floor (0.428939819335938 × 32768)
    floor (14055.5)     		tx = 14055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329391479492188 × 215)
    floor (0.329391479492188 × 32768)
    floor (10793.5)     		ty = 10793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14055 / 10793 ti = "15/14055/10793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14055/10793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14055 ÷ 215
    14055 ÷ 32768     		x = 0.428924560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10793 ÷ 215
    10793 ÷ 32768     		y = 0.329376220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428924560546875 × 2 - 1) × π
    -0.14215087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44658016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329376220703125 × 2 - 1) × π
    0.34124755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07206082310294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44658016} λ = -0.44658016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07206082310294))-π/2
    2×atan(2.92139377645578)-π/2
    2×1.24099547890189-π/2
    2.48199095780378-1.57079632675     		φ = 0.91119463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44658016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.587158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91119463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.207607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14055 KachelY 10793 -0.44658016 0.91119463 -25.587158 52.207607
    Oben rechts KachelX + 1 14056 KachelY 10793 -0.44638841 0.91119463 -25.576172 52.207607
    Unten links KachelX 14055 KachelY + 1 10794 -0.44658016 0.91107712 -25.587158 52.200874
    Unten rechts KachelX + 1 14056 KachelY + 1 10794 -0.44638841 0.91107712 -25.576172 52.200874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91119463-0.91107712) × R
    0.000117510000000043 × 6371000     		dl = 748.656210000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91119463-0.91107712) × R
    0.000117510000000043 × 6371000     		dr = 748.656210000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44658016--0.44638841) × cos(0.91119463) × R
    0.000191749999999991 × 0.612802146909845 × 6371000     		do = 748.623155149295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44658016--0.44638841) × cos(0.91107712) × R
    0.000191749999999991 × 0.612895003355115 × 6371000     		du = 748.736592227453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91119463)-sin(0.91107712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612802146909845-0.612895003355115)×R²
    abs(-0.44638841--0.44658016)×9.28564452701286e-05×R²
    0.000191749999999991×9.28564452701286e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.28564452701286e-05×40589641000000     		ar = 560503.837383804m²