Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14052 / 3572
↖ ↑ ↗
← N 80.201176°
W 25.620117°		 ← 207.91 m → N 80.201176°
W 25.609131°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
N 80.199306°
W 25.620117°		 ← 207.95 m →
43 239 m²		 N 80.199306°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428848266601562 y=0.109024047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428848266601562 × 215)
    floor (0.428848266601562 × 32768)
    floor (14052.5)     		tx = 14052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109024047851562 × 215)
    floor (0.109024047851562 × 32768)
    floor (3572.5)     		ty = 3572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14052 / 3572 ti = "15/14052/3572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14052/3572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14052 ÷ 215
    14052 ÷ 32768     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3572 ÷ 215
    3572 ÷ 32768     		y = 0.1090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1090087890625 × 2 - 1) × π
    0.781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45667023172864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45667023172864))-π/2
    2×atan(11.6659020456429)-π/2
    2×1.48528545610132-π/2
    2.97057091220265-1.57079632675     		φ = 1.39977459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39977459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.201176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14052 KachelY 3572 -0.44715540 1.39977459 -25.620117 80.201176
    Oben rechts KachelX + 1 14053 KachelY 3572 -0.44696365 1.39977459 -25.609131 80.201176
    Unten links KachelX 14052 KachelY + 1 3573 -0.44715540 1.39974195 -25.620117 80.199306
    Unten rechts KachelX + 1 14053 KachelY + 1 3573 -0.44696365 1.39974195 -25.609131 80.199306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39977459-1.39974195) × R
    3.26400000001392e-05 × 6371000     		dl = 207.949440000887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39977459-1.39974195) × R
    3.26400000001392e-05 × 6371000     		dr = 207.949440000887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44696365) × cos(1.39977459) × R
    0.000191749999999991 × 0.17018926880401 × 6371000     		do = 207.909890699768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44696365) × cos(1.39974195) × R
    0.000191749999999991 × 0.170221432541203 × 6371000     		du = 207.949183183551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39977459)-sin(1.39974195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17018926880401-0.170221432541203)×R²
    abs(-0.44696365--0.44715540)×3.21637371936134e-05×R²
    0.000191749999999991×3.21637371936134e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.21637371936134e-05×40589641000000     		ar = 43238.8307704978m²