Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14052 / 21612
↖ ↑ ↗
← S 49.696062°
W 25.620117°		 ← 790.21 m → S 49.696062°
W 25.609131°		 →
↑
790.20 m
↓
↑
790.20 m
↓
S 49.703168°
W 25.620117°		 ← 790.09 m →
624 373 m²		 S 49.703168°
W 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428848266601562 y=0.659561157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428848266601562 × 215)
    floor (0.428848266601562 × 32768)
    floor (14052.5)     		tx = 14052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659561157226562 × 215)
    floor (0.659561157226562 × 32768)
    floor (21612.5)     		ty = 21612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14052 / 21612 ti = "15/14052/21612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14052/21612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14052 ÷ 215
    14052 ÷ 32768     		x = 0.4288330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21612 ÷ 215
    21612 ÷ 32768     		y = 0.6595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4288330078125 × 2 - 1) × π
    -0.142333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44715540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44715540} λ = -0.44715540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00245644485461))-π/2
    2×atan(0.366976874617392)-π/2
    2×0.35171821139761-π/2
    0.703436422795219-1.57079632675     		φ = -0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44715540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14052 KachelY 21612 -0.44715540 -0.86735990 -25.620117 -49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 14053 KachelY 21612 -0.44696365 -0.86735990 -25.609131 -49.696062
    Unten links KachelX 14052 KachelY + 1 21613 -0.44715540 -0.86748393 -25.620117 -49.703168
    Unten rechts KachelX + 1 14053 KachelY + 1 21613 -0.44696365 -0.86748393 -25.609131 -49.703168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86735990--0.86748393) × R
    0.000124030000000053 × 6371000     		dl = 790.195130000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86735990--0.86748393) × R
    0.000124030000000053 × 6371000     		dr = 790.195130000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44715540--0.44696365) × cos(-0.86735990) × R
    0.000191749999999991 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 790.207823083966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44715540--0.44696365) × cos(-0.86748393) × R
    0.000191749999999991 × 0.646747609248461 × 6371000     		du = 790.092264301544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86735990)-sin(-0.86748393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.646747609248461)×R²
    abs(-0.44696365--0.44715540)×9.45932135220096e-05×R²
    0.000191749999999991×9.45932135220096e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.45932135220096e-05×40589641000000     		ar = 624372.717295878m²