Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14051 / 4325
↖ ↑ ↗
← N 78.688336°
W 25.631104°		 ← 239.62 m → N 78.688336°
W 25.620117°		 →
↑
239.61 m
↓
↑
239.61 m
↓
N 78.686181°
W 25.631104°		 ← 239.66 m →
57 421 m²		 N 78.686181°
W 25.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428817749023438 y=0.132003784179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428817749023438 × 215)
    floor (0.428817749023438 × 32768)
    floor (14051.5)     		tx = 14051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132003784179688 × 215)
    floor (0.132003784179688 × 32768)
    floor (4325.5)     		ty = 4325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14051 / 4325 ti = "15/14051/4325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14051/4325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14051 ÷ 215
    14051 ÷ 32768     		x = 0.428802490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4325 ÷ 215
    4325 ÷ 32768     		y = 0.131988525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.14239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44734715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131988525390625 × 2 - 1) × π
    0.73602294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31228429007303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44734715} λ = -0.44734715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31228429007303))-π/2
    2×atan(10.0974638673483)-π/2
    2×1.472083439766-π/2
    2.944166879532-1.57079632675     		φ = 1.37337055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44734715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.631104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37337055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.688336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14051 KachelY 4325 -0.44734715 1.37337055 -25.631104 78.688336
    Oben rechts KachelX + 1 14052 KachelY 4325 -0.44715540 1.37337055 -25.620117 78.688336
    Unten links KachelX 14051 KachelY + 1 4326 -0.44734715 1.37333294 -25.631104 78.686181
    Unten rechts KachelX + 1 14052 KachelY + 1 4326 -0.44715540 1.37333294 -25.620117 78.686181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37337055-1.37333294) × R
    3.76099999999102e-05 × 6371000     		dl = 239.613309999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37337055-1.37333294) × R
    3.76099999999102e-05 × 6371000     		dr = 239.613309999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44734715--0.44715540) × cos(1.37337055) × R
    0.000191750000000046 × 0.196145765201007 × 6371000     		do = 239.619365490892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44734715--0.44715540) × cos(1.37333294) × R
    0.000191750000000046 × 0.196182644478591 × 6371000     		du = 239.6644186639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37337055)-sin(1.37333294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196145765201007-0.196182644478591)×R²
    abs(-0.44715540--0.44734715)×3.68792775838067e-05×R²
    0.000191750000000046×3.68792775838067e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.68792775838067e-05×40589641000000     		ar = 57421.3869820187m²