Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14051 / 16073
↖ ↑ ↗
← N 79.330644°
W141.407776°		 ← 56.55 m → N 79.330644°
W141.405029°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.330135°
W141.407776°		 ← 56.55 m →
3 199 m²		 N 79.330135°
W141.405029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107204437255859 y=0.122631072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107204437255859 × 217)
    floor (0.107204437255859 × 131072)
    floor (14051.5)     		tx = 14051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122631072998047 × 217)
    floor (0.122631072998047 × 131072)
    floor (16073.5)     		ty = 16073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14051 / 16073 ti = "17/14051/16073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14051/16073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14051 ÷ 217
    14051 ÷ 131072     		x = 0.107200622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16073 ÷ 217
    16073 ÷ 131072     		y = 0.122627258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107200622558594 × 2 - 1) × π
    -0.785598754882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.46803128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122627258300781 × 2 - 1) × π
    0.754745483398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.37110286590684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46803128} λ = -2.46803128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37110286590684))-π/2
    2×atan(10.7091965814353)-π/2
    2×1.47768862821007-π/2
    2.95537725642014-1.57079632675     		φ = 1.38458093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46803128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.407776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38458093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.330644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14051 KachelY 16073 -2.46803128 1.38458093 -141.407776 79.330644
    Oben rechts KachelX + 1 14052 KachelY 16073 -2.46798334 1.38458093 -141.405029 79.330644
    Unten links KachelX 14051 KachelY + 1 16074 -2.46803128 1.38457205 -141.407776 79.330135
    Unten rechts KachelX + 1 14052 KachelY + 1 16074 -2.46798334 1.38457205 -141.405029 79.330135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38458093-1.38457205) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38458093-1.38457205) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46803128--2.46798334) × cos(1.38458093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185141054940607 × 6371000     		do = 56.5468437095785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46803128--2.46798334) × cos(1.38457205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		du = 56.5495089996249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38458093)-sin(1.38457205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185141054940607-0.185149781415483)×R²
    abs(-2.46798334--2.46803128)×8.72647487548672e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72647487548672e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72647487548672e-06×40589641000000     		ar = 3199.18367221591m²