Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14050 / 21603
↖ ↑ ↗
← S 49.632062°
W 25.642090°		 ← 791.21 m → S 49.632062°
W 25.631104°		 →
↑
791.15 m
↓
↑
791.15 m
↓
S 49.639177°
W 25.642090°		 ← 791.09 m →
625 918 m²		 S 49.639177°
W 25.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428787231445312 y=0.659286499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428787231445312 × 215)
    floor (0.428787231445312 × 32768)
    floor (14050.5)     		tx = 14050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659286499023438 × 215)
    floor (0.659286499023438 × 32768)
    floor (21603.5)     		ty = 21603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14050 / 21603 ti = "15/14050/21603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14050/21603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14050 ÷ 215
    14050 ÷ 32768     		x = 0.42877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21603 ÷ 215
    21603 ÷ 32768     		y = 0.659271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.31854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00073071646829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44753889} λ = -0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00073071646829))-π/2
    2×atan(0.367610723795495)-π/2
    2×0.352276715692097-π/2
    0.704553431384193-1.57079632675     		φ = -0.86624290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86624290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.632062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14050 KachelY 21603 -0.44753889 -0.86624290 -25.642090 -49.632062
    Oben rechts KachelX + 1 14051 KachelY 21603 -0.44734715 -0.86624290 -25.631104 -49.632062
    Unten links KachelX 14050 KachelY + 1 21604 -0.44753889 -0.86636708 -25.642090 -49.639177
    Unten rechts KachelX + 1 14051 KachelY + 1 21604 -0.44734715 -0.86636708 -25.631104 -49.639177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86624290--0.86636708) × R
    0.000124179999999918 × 6371000     		dl = 791.150779999479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86624290--0.86636708) × R
    0.000124179999999918 × 6371000     		dr = 791.150779999479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44753889--0.44734715) × cos(-0.86624290) × R
    0.000191739999999996 × 0.647693649617274 × 6371000     		do = 791.206719785775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44753889--0.44734715) × cos(-0.86636708) × R
    0.000191739999999996 × 0.647599031773501 × 6371000     		du = 791.091136942175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86624290)-sin(-0.86636708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647693649617274-0.647599031773501)×R²
    abs(-0.44734715--0.44753889)×9.46178437730705e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46178437730705e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46178437730705e-05×40589641000000     		ar = 625918.092575441m²