Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14050 / 16074
↖ ↑ ↗
← N 79.330135°
W141.410522°		 ← 56.54 m → N 79.330135°
W141.407776°		 →
↑
56.51 m
↓
↑
56.51 m
↓
N 79.329627°
W141.410522°		 ← 56.54 m →
3 195 m²		 N 79.329627°
W141.407776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107196807861328 y=0.122638702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107196807861328 × 217)
    floor (0.107196807861328 × 131072)
    floor (14050.5)     		tx = 14050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122638702392578 × 217)
    floor (0.122638702392578 × 131072)
    floor (16074.5)     		ty = 16074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14050 / 16074 ti = "17/14050/16074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14050/16074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14050 ÷ 217
    14050 ÷ 131072     		x = 0.107192993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16074 ÷ 217
    16074 ÷ 131072     		y = 0.122634887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107192993164062 × 2 - 1) × π
    -0.785614013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.46807921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122634887695312 × 2 - 1) × π
    0.754730224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.37105492900722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46807921} λ = -2.46807921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37105492900722))-π/2
    2×atan(10.7086832280582)-π/2
    2×1.47768419056146-π/2
    2.95536838112291-1.57079632675     		φ = 1.38457205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46807921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.410522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38457205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.330135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14050 KachelY 16074 -2.46807921 1.38457205 -141.410522 79.330135
    Oben rechts KachelX + 1 14051 KachelY 16074 -2.46803128 1.38457205 -141.407776 79.330135
    Unten links KachelX 14050 KachelY + 1 16075 -2.46807921 1.38456318 -141.410522 79.329627
    Unten rechts KachelX + 1 14051 KachelY + 1 16075 -2.46803128 1.38456318 -141.407776 79.329627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38457205-1.38456318) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dl = 56.5107700003165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38457205-1.38456318) × R
    8.87000000004967e-06 × 6371000     		dr = 56.5107700003165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46807921--2.46803128) × cos(1.38457205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185149781415483 × 6371000     		do = 56.5377131071226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46807921--2.46803128) × cos(1.38456318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185158498048672 × 6371000     		du = 56.540374835928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38457205)-sin(1.38456318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185149781415483-0.185158498048672)×R²
    abs(-2.46803128--2.46807921)×8.71663318896543e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.71663318896543e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.71663318896543e-06×40589641000000     		ar = 3195.06490992934m²