Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14049 / 3535
↖ ↑ ↗
← N 80.270116°
W 25.653076°		 ← 206.46 m → N 80.270116°
W 25.642090°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
N 80.268259°
W 25.653076°		 ← 206.50 m →
42 635 m²		 N 80.268259°
W 25.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428756713867188 y=0.107894897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428756713867188 × 215)
    floor (0.428756713867188 × 32768)
    floor (14049.5)     		tx = 14049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107894897460938 × 215)
    floor (0.107894897460938 × 32768)
    floor (3535.5)     		ty = 3535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14049 / 3535 ti = "15/14049/3535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14049/3535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14049 ÷ 215
    14049 ÷ 32768     		x = 0.428741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3535 ÷ 215
    3535 ÷ 32768     		y = 0.107879638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.14251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44773064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107879638671875 × 2 - 1) × π
    0.78424072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46376489287241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44773064} λ = -0.44773064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46376489287241))-π/2
    2×atan(11.7489619601712)-π/2
    2×1.48588706813434-π/2
    2.97177413626868-1.57079632675     		φ = 1.40097781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44773064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.653076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40097781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.270116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14049 KachelY 3535 -0.44773064 1.40097781 -25.653076 80.270116
    Oben rechts KachelX + 1 14050 KachelY 3535 -0.44753889 1.40097781 -25.642090 80.270116
    Unten links KachelX 14049 KachelY + 1 3536 -0.44773064 1.40094540 -25.653076 80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 14050 KachelY + 1 3536 -0.44753889 1.40094540 -25.642090 80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40097781-1.40094540) × R
    3.24100000002048e-05 × 6371000     		dl = 206.484110001305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40097781-1.40094540) × R
    3.24100000002048e-05 × 6371000     		dr = 206.484110001305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44773064--0.44753889) × cos(1.40097781) × R
    0.000191749999999991 × 0.16900347919947 × 6371000     		do = 206.461283576621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44773064--0.44753889) × cos(1.40094540) × R
    0.000191749999999991 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 206.500307264241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40097781)-sin(1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16900347919947-0.169035422907582)×R²
    abs(-0.44753889--0.44773064)×3.19437081114926e-05×R²
    0.000191749999999991×3.19437081114926e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.19437081114926e-05×40589641000000     		ar = 42635.003278562m²