Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14048 / 21601
↖ ↑ ↗
← S 49.617828°
W 25.664062°		 ← 791.48 m → S 49.617828°
W 25.653076°		 →
↑
791.41 m
↓
↑
791.41 m
↓
S 49.624945°
W 25.664062°		 ← 791.36 m →
626 335 m²		 S 49.624945°
W 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428726196289062 y=0.659225463867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428726196289062 × 215)
    floor (0.428726196289062 × 32768)
    floor (14048.5)     		tx = 14048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659225463867188 × 215)
    floor (0.659225463867188 × 32768)
    floor (21601.5)     		ty = 21601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14048 / 21601 ti = "15/14048/21601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14048/21601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14048 ÷ 215
    14048 ÷ 32768     		x = 0.4287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21601 ÷ 215
    21601 ÷ 32768     		y = 0.659210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.31842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00034722127133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44792239} λ = -0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00034722127133))-π/2
    2×atan(0.367751727777869)-π/2
    2×0.35240092753891-π/2
    0.704801855077821-1.57079632675     		φ = -0.86599447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86599447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.617828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14048 KachelY 21601 -0.44792239 -0.86599447 -25.664062 -49.617828
    Oben rechts KachelX + 1 14049 KachelY 21601 -0.44773064 -0.86599447 -25.653076 -49.617828
    Unten links KachelX 14048 KachelY + 1 21602 -0.44792239 -0.86611869 -25.664062 -49.624945
    Unten rechts KachelX + 1 14049 KachelY + 1 21602 -0.44773064 -0.86611869 -25.653076 -49.624945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86599447--0.86611869) × R
    0.000124220000000008 × 6371000     		dl = 791.405620000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86599447--0.86611869) × R
    0.000124220000000008 × 6371000     		dr = 791.405620000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44792239--0.44773064) × cos(-0.86599447) × R
    0.000191749999999991 × 0.647882908661544 × 6371000     		do = 791.479190625068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44792239--0.44773064) × cos(-0.86611869) × R
    0.000191749999999991 × 0.647788280327789 × 6371000     		du = 791.36358893839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86599447)-sin(-0.86611869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647882908661544-0.647788280327789)×R²
    abs(-0.44773064--0.44792239)×9.46283337557308e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46283337557308e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46283337557308e-05×40589641000000     		ar = 626335.336466445m²