Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14048 / 10852
↖ ↑ ↗
← N 51.808615°
W 25.664062°		 ← 755.33 m → N 51.808615°
W 25.653076°		 →
↑
755.41 m
↓
↑
755.41 m
↓
N 51.801821°
W 25.664062°		 ← 755.44 m →
570 625 m²		 N 51.801821°
W 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428726196289062 y=0.331192016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428726196289062 × 215)
    floor (0.428726196289062 × 32768)
    floor (14048.5)     		tx = 14048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331192016601562 × 215)
    floor (0.331192016601562 × 32768)
    floor (10852.5)     		ty = 10852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14048 / 10852 ti = "15/14048/10852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14048/10852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14048 ÷ 215
    14048 ÷ 32768     		x = 0.4287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10852 ÷ 215
    10852 ÷ 32768     		y = 0.3311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4287109375 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3311767578125 × 2 - 1) × π
    0.337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0607477147926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44792239} λ = -0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0607477147926))-π/2
    2×atan(2.88852997860712)-π/2
    2×1.2375136175478-π/2
    2.4750272350956-1.57079632675     		φ = 0.90423091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90423091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.808615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14048 KachelY 10852 -0.44792239 0.90423091 -25.664062 51.808615
    Oben rechts KachelX + 1 14049 KachelY 10852 -0.44773064 0.90423091 -25.653076 51.808615
    Unten links KachelX 14048 KachelY + 1 10853 -0.44792239 0.90411234 -25.664062 51.801821
    Unten rechts KachelX + 1 14049 KachelY + 1 10853 -0.44773064 0.90411234 -25.653076 51.801821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90423091-0.90411234) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dl = 755.409470000255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90423091-0.90411234) × R
    0.00011857000000004 × 6371000     		dr = 755.409470000255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44792239--0.44773064) × cos(0.90423091) × R
    0.000191749999999991 × 0.618290228915873 × 6371000     		do = 755.327611535079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44792239--0.44773064) × cos(0.90411234) × R
    0.000191749999999991 × 0.618383414645116 × 6371000     		du = 755.441450879461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90423091)-sin(0.90411234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618290228915873-0.618383414645116)×R²
    abs(-0.44773064--0.44792239)×9.31857292426619e-05×R²
    0.000191749999999991×9.31857292426619e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.31857292426619e-05×40589641000000     		ar = 570624.629034149m²