Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14047 / 4785
↖ ↑ ↗
← N 77.652997°
W 25.675049°		 ← 261.23 m → N 77.652997°
W 25.664062°		 →
↑
261.21 m
↓
↑
261.21 m
↓
N 77.650648°
W 25.675049°		 ← 261.27 m →
68 241 m²		 N 77.650648°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428695678710938 y=0.146041870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428695678710938 × 215)
    floor (0.428695678710938 × 32768)
    floor (14047.5)     		tx = 14047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146041870117188 × 215)
    floor (0.146041870117188 × 32768)
    floor (4785.5)     		ty = 4785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14047 / 4785 ti = "15/14047/4785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14047/4785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14047 ÷ 215
    14047 ÷ 32768     		x = 0.428680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4785 ÷ 215
    4785 ÷ 32768     		y = 0.146026611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146026611328125 × 2 - 1) × π
    0.70794677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22408039477213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44811414} λ = -0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22408039477213))-π/2
    2×atan(9.24497716425913)-π/2
    2×1.46304839926176-π/2
    2.92609679852352-1.57079632675     		φ = 1.35530047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35530047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.652997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14047 KachelY 4785 -0.44811414 1.35530047 -25.675049 77.652997
    Oben rechts KachelX + 1 14048 KachelY 4785 -0.44792239 1.35530047 -25.664062 77.652997
    Unten links KachelX 14047 KachelY + 1 4786 -0.44811414 1.35525947 -25.675049 77.650648
    Unten rechts KachelX + 1 14048 KachelY + 1 4786 -0.44792239 1.35525947 -25.664062 77.650648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35530047-1.35525947) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dl = 261.210999999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35530047-1.35525947) × R
    4.09999999999577e-05 × 6371000     		dr = 261.210999999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(1.35530047) × R
    0.000191749999999991 × 0.213831842436163 × 6371000     		do = 261.22537161982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(1.35525947) × R
    0.000191749999999991 × 0.213871893946284 × 6371000     		du = 261.274300116605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35530047)-sin(1.35525947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213831842436163-0.213871893946284)×R²
    abs(-0.44792239--0.44811414)×4.00515101207088e-05×R²
    0.000191749999999991×4.00515101207088e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.00515101207088e-05×40589641000000     		ar = 68241.3308867572m²