Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14047 / 3575
↖ ↑ ↗
← N 80.195565°
W 25.675049°		 ← 208.03 m → N 80.195565°
W 25.664062°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
N 80.193694°
W 25.675049°		 ← 208.07 m →
43 290 m²		 N 80.193694°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428695678710938 y=0.109115600585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428695678710938 × 215)
    floor (0.428695678710938 × 32768)
    floor (14047.5)     		tx = 14047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109115600585938 × 215)
    floor (0.109115600585938 × 32768)
    floor (3575.5)     		ty = 3575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14047 / 3575 ti = "15/14047/3575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14047/3575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14047 ÷ 215
    14047 ÷ 32768     		x = 0.428680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3575 ÷ 215
    3575 ÷ 32768     		y = 0.109100341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109100341796875 × 2 - 1) × π
    0.78179931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4560949889332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44811414} λ = -0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4560949889332))-π/2
    2×atan(11.6591932493172)-π/2
    2×1.48523649214841-π/2
    2.97047298429682-1.57079632675     		φ = 1.39967666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39967666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.195565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14047 KachelY 3575 -0.44811414 1.39967666 -25.675049 80.195565
    Oben rechts KachelX + 1 14048 KachelY 3575 -0.44792239 1.39967666 -25.664062 80.195565
    Unten links KachelX 14047 KachelY + 1 3576 -0.44811414 1.39964400 -25.675049 80.193694
    Unten rechts KachelX + 1 14048 KachelY + 1 3576 -0.44792239 1.39964400 -25.664062 80.193694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39967666-1.39964400) × R
    3.26599999997956e-05 × 6371000     		dl = 208.076859998698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39967666-1.39964400) × R
    3.26599999997956e-05 × 6371000     		dr = 208.076859998698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(1.39967666) × R
    0.000191749999999991 × 0.170285769325457 × 6371000     		do = 208.027779524414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(1.39964400) × R
    0.000191749999999991 × 0.170317952226229 × 6371000     		du = 208.067095419176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39967666)-sin(1.39964400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170285769325457-0.170317952226229)×R²
    abs(-0.44792239--0.44811414)×3.21829007718932e-05×R²
    0.000191749999999991×3.21829007718932e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.21829007718932e-05×40589641000000     		ar = 43289.8575232518m²