Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14047 / 21602
↖ ↑ ↗
← S 49.624945°
W 25.675049°		 ← 791.36 m → S 49.624945°
W 25.664062°		 →
↑
791.34 m
↓
↑
791.34 m
↓
S 49.632062°
W 25.675049°		 ← 791.25 m →
626 193 m²		 S 49.632062°
W 25.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428695678710938 y=0.659255981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428695678710938 × 215)
    floor (0.428695678710938 × 32768)
    floor (14047.5)     		tx = 14047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659255981445312 × 215)
    floor (0.659255981445312 × 32768)
    floor (21602.5)     		ty = 21602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14047 / 21602 ti = "15/14047/21602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14047/21602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14047 ÷ 215
    14047 ÷ 32768     		x = 0.428680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21602 ÷ 215
    21602 ÷ 32768     		y = 0.65924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.14263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44811414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.3184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00053896886981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44811414} λ = -0.44811414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00053896886981))-π/2
    2×atan(0.367681219027388)-π/2
    2×0.352338817079373-π/2
    0.704677634158745-1.57079632675     		φ = -0.86611869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44811414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.675049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86611869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.624945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14047 KachelY 21602 -0.44811414 -0.86611869 -25.675049 -49.624945
    Oben rechts KachelX + 1 14048 KachelY 21602 -0.44792239 -0.86611869 -25.664062 -49.624945
    Unten links KachelX 14047 KachelY + 1 21603 -0.44811414 -0.86624290 -25.675049 -49.632062
    Unten rechts KachelX + 1 14048 KachelY + 1 21603 -0.44792239 -0.86624290 -25.664062 -49.632062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86611869--0.86624290) × R
    0.000124210000000069 × 6371000     		dl = 791.341910000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86611869--0.86624290) × R
    0.000124210000000069 × 6371000     		dr = 791.341910000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(-0.86611869) × R
    0.000191749999999991 × 0.647788280327789 × 6371000     		do = 791.36358893839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44811414--0.44792239) × cos(-0.86624290) × R
    0.000191749999999991 × 0.647693649617274 × 6371000     		du = 791.247984348171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86611869)-sin(-0.86624290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647788280327789-0.647693649617274)×R²
    abs(-0.44792239--0.44811414)×9.46307105142985e-05×R²
    0.000191749999999991×9.46307105142985e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.46307105142985e-05×40589641000000     		ar = 626193.433402095m²