Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14046 / 18542
↖ ↑ ↗
← N 77.999332°
W141.421509°		 ← 63.51 m → N 77.999332°
W141.418762°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 77.998761°
W141.421509°		 ← 63.51 m →
4 030 m²		 N 77.998761°
W141.418762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107166290283203 y=0.141468048095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107166290283203 × 217)
    floor (0.107166290283203 × 131072)
    floor (14046.5)     		tx = 14046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141468048095703 × 217)
    floor (0.141468048095703 × 131072)
    floor (18542.5)     		ty = 18542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14046 / 18542 ti = "17/14046/18542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14046/18542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14046 ÷ 217
    14046 ÷ 131072     		x = 0.107162475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18542 ÷ 217
    18542 ÷ 131072     		y = 0.141464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107162475585938 × 2 - 1) × π
    -0.785675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.46827096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141464233398438 × 2 - 1) × π
    0.717071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.25274666074492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46827096} λ = -2.46827096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25274666074492))-π/2
    2×atan(9.51383124915576)-π/2
    2×1.46607074544728-π/2
    2.93214149089457-1.57079632675     		φ = 1.36134516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46827096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.421509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36134516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.999332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14046 KachelY 18542 -2.46827096 1.36134516 -141.421509 77.999332
    Oben rechts KachelX + 1 14047 KachelY 18542 -2.46822302 1.36134516 -141.418762 77.999332
    Unten links KachelX 14046 KachelY + 1 18543 -2.46827096 1.36133520 -141.421509 77.998761
    Unten rechts KachelX + 1 14047 KachelY + 1 18543 -2.46822302 1.36133520 -141.418762 77.998761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36134516-1.36133520) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36134516-1.36133520) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46827096--2.46822302) × cos(1.36134516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207923092635505 × 6371000     		do = 63.5050644312459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46827096--2.46822302) × cos(1.36133520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207932834951155 × 6371000     		du = 63.5080399852129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36134516)-sin(1.36133520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207923092635505-0.207932834951155)×R²
    abs(-2.46822302--2.46827096)×9.74231565081807e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74231565081807e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74231565081807e-06×40589641000000     		ar = 4029.81843138478m²