Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14045 / 4506
↖ ↑ ↗
← N 78.291586°
W 25.697021°		 ← 247.90 m → N 78.291586°
W 25.686035°		 →
↑
247.96 m
↓
↑
247.96 m
↓
N 78.289356°
W 25.697021°		 ← 247.94 m →
61 474 m²		 N 78.289356°
W 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428634643554688 y=0.137527465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428634643554688 × 215)
    floor (0.428634643554688 × 32768)
    floor (14045.5)     		tx = 14045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137527465820312 × 215)
    floor (0.137527465820312 × 32768)
    floor (4506.5)     		ty = 4506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14045 / 4506 ti = "15/14045/4506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14045/4506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14045 ÷ 215
    14045 ÷ 32768     		x = 0.428619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4506 ÷ 215
    4506 ÷ 32768     		y = 0.13751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.14276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44849763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13751220703125 × 2 - 1) × π
    0.7249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27757797474811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44849763} λ = -0.44849763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27757797474811))-π/2
    2×atan(9.75302969557223)-π/2
    2×1.46862113778814-π/2
    2.93724227557628-1.57079632675     		φ = 1.36644595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44849763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36644595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.291586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14045 KachelY 4506 -0.44849763 1.36644595 -25.697021 78.291586
    Oben rechts KachelX + 1 14046 KachelY 4506 -0.44830589 1.36644595 -25.686035 78.291586
    Unten links KachelX 14045 KachelY + 1 4507 -0.44849763 1.36640703 -25.697021 78.289356
    Unten rechts KachelX + 1 14046 KachelY + 1 4507 -0.44830589 1.36640703 -25.686035 78.289356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36644595-1.36640703) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dl = 247.959319999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36644595-1.36640703) × R
    3.89199999999423e-05 × 6371000     		dr = 247.959319999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(1.36644595) × R
    0.000191739999999996 × 0.202931096261039 × 6371000     		do = 247.895663497865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(1.36640703) × R
    0.000191739999999996 × 0.202969206299666 × 6371000     		du = 247.942217788881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36644595)-sin(1.36640703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202931096261039-0.202969206299666)×R²
    abs(-0.44830589--0.44849763)×3.81100386272204e-05×R²
    0.000191739999999996×3.81100386272204e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.81100386272204e-05×40589641000000     		ar = 61473.811944821m²