Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14045 / 18541
↖ ↑ ↗
← N 77.999903°
W141.424255°		 ← 63.50 m → N 77.999903°
W141.421509°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.999332°
W141.424255°		 ← 63.51 m →
4 034 m²		 N 77.999332°
W141.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107158660888672 y=0.141460418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107158660888672 × 217)
    floor (0.107158660888672 × 131072)
    floor (14045.5)     		tx = 14045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141460418701172 × 217)
    floor (0.141460418701172 × 131072)
    floor (18541.5)     		ty = 18541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14045 / 18541 ti = "17/14045/18541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14045/18541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14045 ÷ 217
    14045 ÷ 131072     		x = 0.107154846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18541 ÷ 217
    18541 ÷ 131072     		y = 0.141456604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107154846191406 × 2 - 1) × π
    -0.785690307617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.46831890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141456604003906 × 2 - 1) × π
    0.717086791992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.25279459764454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46831890} λ = -2.46831890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25279459764454))-π/2
    2×atan(9.51428732366066)-π/2
    2×1.46607572892456-π/2
    2.93215145784912-1.57079632675     		φ = 1.36135513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46831890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.424255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36135513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.999903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14045 KachelY 18541 -2.46831890 1.36135513 -141.424255 77.999903
    Oben rechts KachelX + 1 14046 KachelY 18541 -2.46827096 1.36135513 -141.421509 77.999903
    Unten links KachelX 14045 KachelY + 1 18542 -2.46831890 1.36134516 -141.424255 77.999332
    Unten rechts KachelX + 1 14046 KachelY + 1 18542 -2.46827096 1.36134516 -141.421509 77.999332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36135513-1.36134516) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36135513-1.36134516) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46831890--2.46827096) × cos(1.36135513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207913340517755 × 6371000     		do = 63.5020858834656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46831890--2.46827096) × cos(1.36134516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207923092635505 × 6371000     		du = 63.5050644312459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36135513)-sin(1.36134516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207913340517755-0.207923092635505)×R²
    abs(-2.46827096--2.46831890)×9.7521177497284e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7521177497284e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7521177497284e-06×40589641000000     		ar = 4033.67533499872m²