Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14045 / 16087
↖ ↑ ↗
← N 79.323522°
W141.424255°		 ← 56.58 m → N 79.323522°
W141.421509°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
N 79.323014°
W141.424255°		 ← 56.59 m →
3 201 m²		 N 79.323014°
W141.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107158660888672 y=0.122737884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107158660888672 × 217)
    floor (0.107158660888672 × 131072)
    floor (14045.5)     		tx = 14045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122737884521484 × 217)
    floor (0.122737884521484 × 131072)
    floor (16087.5)     		ty = 16087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14045 / 16087 ti = "17/14045/16087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14045/16087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14045 ÷ 217
    14045 ÷ 131072     		x = 0.107154846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16087 ÷ 217
    16087 ÷ 131072     		y = 0.122734069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107154846191406 × 2 - 1) × π
    -0.785690307617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.46831890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122734069824219 × 2 - 1) × π
    0.754531860351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.37043174931216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46831890} λ = -2.46831890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37043174931216))-π/2
    2×atan(10.702011873052)-π/2
    2×1.47762648210207-π/2
    2.95525296420415-1.57079632675     		φ = 1.38445664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46831890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.424255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38445664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.323522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14045 KachelY 16087 -2.46831890 1.38445664 -141.424255 79.323522
    Oben rechts KachelX + 1 14046 KachelY 16087 -2.46827096 1.38445664 -141.421509 79.323522
    Unten links KachelX 14045 KachelY + 1 16088 -2.46831890 1.38444776 -141.424255 79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 14046 KachelY + 1 16088 -2.46827096 1.38444776 -141.421509 79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38445664-1.38444776) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38445664-1.38444776) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46831890--2.46827096) × cos(1.38445664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185263194779357 × 6371000     		do = 56.5841483602121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46831890--2.46827096) × cos(1.38444776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 56.586813587826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38445664)-sin(1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185263194779357-0.185271921049821)×R²
    abs(-2.46827096--2.46831890)×8.72627046397123e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72627046397123e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72627046397123e-06×40589641000000     		ar = 3201.29416164755m²