Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14045 / 11132
↖ ↑ ↗
← N 49.866317°
W 25.697021°		 ← 787.39 m → N 49.866317°
W 25.686035°		 →
↑
787.46 m
↓
↑
787.46 m
↓
N 49.859235°
W 25.697021°		 ← 787.51 m →
620 084 m²		 N 49.859235°
W 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428634643554688 y=0.339736938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428634643554688 × 215)
    floor (0.428634643554688 × 32768)
    floor (14045.5)     		tx = 14045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339736938476562 × 215)
    floor (0.339736938476562 × 32768)
    floor (11132.5)     		ty = 11132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14045 / 11132 ti = "15/14045/11132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14045/11132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14045 ÷ 215
    14045 ÷ 32768     		x = 0.428619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11132 ÷ 215
    11132 ÷ 32768     		y = 0.3397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.14276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44849763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3397216796875 × 2 - 1) × π
    0.320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00705838721814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44849763} λ = -0.44849763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00705838721814))-π/2
    2×atan(2.73753638729857)-π/2
    2×1.22056386977456-π/2
    2.44112773954912-1.57079632675     		φ = 0.87033141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44849763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87033141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.866317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14045 KachelY 11132 -0.44849763 0.87033141 -25.697021 49.866317
    Oben rechts KachelX + 1 14046 KachelY 11132 -0.44830589 0.87033141 -25.686035 49.866317
    Unten links KachelX 14045 KachelY + 1 11133 -0.44849763 0.87020781 -25.697021 49.859235
    Unten rechts KachelX + 1 14046 KachelY + 1 11133 -0.44830589 0.87020781 -25.686035 49.859235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87033141-0.87020781) × R
    0.000123600000000001 × 6371000     		dl = 787.455600000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87033141-0.87020781) × R
    0.000123600000000001 × 6371000     		dr = 787.455600000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(0.87033141) × R
    0.000191739999999996 × 0.644573205580134 × 6371000     		do = 787.394861676067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(0.87020781) × R
    0.000191739999999996 × 0.644667698121325 × 6371000     		du = 787.510291453098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87033141)-sin(0.87020781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644573205580134-0.644667698121325)×R²
    abs(-0.44830589--0.44849763)×9.44925411907604e-05×R²
    0.000191739999999996×9.44925411907604e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.44925411907604e-05×40589641000000     		ar = 620083.941939357m²