Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14045 / 10802
↖ ↑ ↗
← N 52.146973°
W 25.697021°		 ← 749.61 m → N 52.146973°
W 25.686035°		 →
↑
749.68 m
↓
↑
749.68 m
↓
N 52.140231°
W 25.697021°		 ← 749.72 m →
562 003 m²		 N 52.140231°
W 25.686035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428634643554688 y=0.329666137695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428634643554688 × 215)
    floor (0.428634643554688 × 32768)
    floor (14045.5)     		tx = 14045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329666137695312 × 215)
    floor (0.329666137695312 × 32768)
    floor (10802.5)     		ty = 10802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14045 / 10802 ti = "15/14045/10802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14045/10802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14045 ÷ 215
    14045 ÷ 32768     		x = 0.428619384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10802 ÷ 215
    10802 ÷ 32768     		y = 0.32965087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.14276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.44849763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32965087890625 × 2 - 1) × π
    0.3406982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07033509471661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44849763} λ = -0.44849763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07033509471661))-π/2
    2×atan(2.9163565919444)-π/2
    2×1.24046635326004-π/2
    2.48093270652008-1.57079632675     		φ = 0.91013638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44849763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91013638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.146973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14045 KachelY 10802 -0.44849763 0.91013638 -25.697021 52.146973
    Oben rechts KachelX + 1 14046 KachelY 10802 -0.44830589 0.91013638 -25.686035 52.146973
    Unten links KachelX 14045 KachelY + 1 10803 -0.44849763 0.91001871 -25.697021 52.140231
    Unten rechts KachelX + 1 14046 KachelY + 1 10803 -0.44830589 0.91001871 -25.686035 52.140231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91013638-0.91001871) × R
    0.000117669999999959 × 6371000     		dl = 749.675569999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91013638-0.91001871) × R
    0.000117669999999959 × 6371000     		dr = 749.675569999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(0.91013638) × R
    0.000191739999999996 × 0.613638071261443 × 6371000     		do = 749.605258265739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44849763--0.44830589) × cos(0.91001871) × R
    0.000191739999999996 × 0.613730977766418 × 6371000     		du = 749.718750579723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91013638)-sin(0.91001871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613638071261443-0.613730977766418)×R²
    abs(-0.44830589--0.44849763)×9.29065049745104e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29065049745104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29065049745104e-05×40589641000000     		ar = 562003.291121207m²