Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14044 / 10801
↖ ↑ ↗
← N 52.153714°
W 25.708008°		 ← 749.53 m → N 52.153714°
W 25.697021°		 →
↑
749.55 m
↓
↑
749.55 m
↓
N 52.146973°
W 25.708008°		 ← 749.64 m →
561 852 m²		 N 52.146973°
W 25.697021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428604125976562 y=0.329635620117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428604125976562 × 215)
    floor (0.428604125976562 × 32768)
    floor (14044.5)     		tx = 14044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329635620117188 × 215)
    floor (0.329635620117188 × 32768)
    floor (10801.5)     		ty = 10801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14044 / 10801 ti = "15/14044/10801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14044/10801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14044 ÷ 215
    14044 ÷ 32768     		x = 0.4285888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10801 ÷ 215
    10801 ÷ 32768     		y = 0.329620361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    -0.142822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44868938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329620361328125 × 2 - 1) × π
    0.34075927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07052684231509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44868938} λ = -0.44868938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07052684231509))-π/2
    2×atan(2.91691584993369)-π/2
    2×1.24052518061979-π/2
    2.48105036123958-1.57079632675     		φ = 0.91025403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44868938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.708008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91025403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.153714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14044 KachelY 10801 -0.44868938 0.91025403 -25.708008 52.153714
    Oben rechts KachelX + 1 14045 KachelY 10801 -0.44849763 0.91025403 -25.697021 52.153714
    Unten links KachelX 14044 KachelY + 1 10802 -0.44868938 0.91013638 -25.708008 52.146973
    Unten rechts KachelX + 1 14045 KachelY + 1 10802 -0.44849763 0.91013638 -25.697021 52.146973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91025403-0.91013638) × R
    0.00011765000000008 × 6371000     		dl = 749.548150000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91025403-0.91013638) × R
    0.00011765000000008 × 6371000     		dr = 749.548150000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44868938--0.44849763) × cos(0.91025403) × R
    0.000191750000000046 × 0.613545172053088 × 6371000     		do = 749.530863828235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44868938--0.44849763) × cos(0.91013638) × R
    0.000191750000000046 × 0.613638071261443 × 6371000     		du = 749.644353147456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91025403)-sin(0.91013638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613545172053088-0.613638071261443)×R²
    abs(-0.44849763--0.44868938)×9.28992083553126e-05×R²
    0.000191750000000046×9.28992083553126e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.28992083553126e-05×40589641000000     		ar = 561852.005853814m²