Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14043 / 10803
↖ ↑ ↗
← N 52.140231°
W 25.718994°		 ← 749.76 m → N 52.140231°
W 25.708008°		 →
↑
749.80 m
↓
↑
749.80 m
↓
N 52.133488°
W 25.718994°		 ← 749.87 m →
562 213 m²		 N 52.133488°
W 25.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428573608398438 y=0.329696655273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428573608398438 × 215)
    floor (0.428573608398438 × 32768)
    floor (14043.5)     		tx = 14043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329696655273438 × 215)
    floor (0.329696655273438 × 32768)
    floor (10803.5)     		ty = 10803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14043 / 10803 ti = "15/14043/10803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14043/10803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14043 ÷ 215
    14043 ÷ 32768     		x = 0.428558349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10803 ÷ 215
    10803 ÷ 32768     		y = 0.329681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.14288330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44888113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329681396484375 × 2 - 1) × π
    0.34063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07014334711813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44888113} λ = -0.44888113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07014334711813))-π/2
    2×atan(2.9157974411812)-π/2
    2×1.24040751699307-π/2
    2.48081503398614-1.57079632675     		φ = 0.91001871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44888113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.718994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91001871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.140231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14043 KachelY 10803 -0.44888113 0.91001871 -25.718994 52.140231
    Oben rechts KachelX + 1 14044 KachelY 10803 -0.44868938 0.91001871 -25.708008 52.140231
    Unten links KachelX 14043 KachelY + 1 10804 -0.44888113 0.90990102 -25.718994 52.133488
    Unten rechts KachelX + 1 14044 KachelY + 1 10804 -0.44868938 0.90990102 -25.708008 52.133488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91001871-0.90990102) × R
    0.000117690000000059 × 6371000     		dl = 749.802990000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91001871-0.90990102) × R
    0.000117690000000059 × 6371000     		dr = 749.802990000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44888113--0.44868938) × cos(0.91001871) × R
    0.000191749999999991 × 0.613730977766418 × 6371000     		do = 749.757851380296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44888113--0.44868938) × cos(0.90990102) × R
    0.000191749999999991 × 0.613823891562393 × 6371000     		du = 749.871358520326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91001871)-sin(0.90990102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613730977766418-0.613823891562393)×R²
    abs(-0.44868938--0.44888113)×9.29137959749804e-05×R²
    0.000191749999999991×9.29137959749804e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.29137959749804e-05×40589641000000     		ar = 562213.233386338m²