Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14042 / 3548
↖ ↑ ↗
← N 80.245948°
W 25.729981°		 ← 206.97 m → N 80.245948°
W 25.718994°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
N 80.244087°
W 25.729981°		 ← 207.01 m →
42 845 m²		 N 80.244087°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428543090820312 y=0.108291625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428543090820312 × 215)
    floor (0.428543090820312 × 32768)
    floor (14042.5)     		tx = 14042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108291625976562 × 215)
    floor (0.108291625976562 × 32768)
    floor (3548.5)     		ty = 3548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14042 / 3548 ti = "15/14042/3548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14042/3548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14042 ÷ 215
    14042 ÷ 32768     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3548 ÷ 215
    3548 ÷ 32768     		y = 0.1082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    0.783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46127217409216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46127217409216))-π/2
    2×atan(11.7197115736845)-π/2
    2×1.48567617009906-π/2
    2.97135234019811-1.57079632675     		φ = 1.40055601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40055601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.245948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14042 KachelY 3548 -0.44907288 1.40055601 -25.729981 80.245948
    Oben rechts KachelX + 1 14043 KachelY 3548 -0.44888113 1.40055601 -25.718994 80.245948
    Unten links KachelX 14042 KachelY + 1 3549 -0.44907288 1.40052352 -25.729981 80.244087
    Unten rechts KachelX + 1 14043 KachelY + 1 3549 -0.44888113 1.40052352 -25.718994 80.244087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40055601-1.40052352) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dl = 206.993790001036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40055601-1.40052352) × R
    3.24900000001627e-05 × 6371000     		dr = 206.993790001036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44888113) × cos(1.40055601) × R
    0.000191749999999991 × 0.169419196751676 × 6371000     		do = 206.969140455309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44888113) × cos(1.40052352) × R
    0.000191749999999991 × 0.169451216989445 × 6371000     		du = 207.008257634563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40055601)-sin(1.40052352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169419196751676-0.169451216989445)×R²
    abs(-0.44888113--0.44907288)×3.20202377696865e-05×R²
    0.000191749999999991×3.20202377696865e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.20202377696865e-05×40589641000000     		ar = 42845.3753063865m²