Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14042 / 10805
↖ ↑ ↗
← N 52.126744°
W 25.729981°		 ← 749.98 m → N 52.126744°
W 25.718994°		 →
↑
750.06 m
↓
↑
750.06 m
↓
N 52.119999°
W 25.729981°		 ← 750.10 m →
562 575 m²		 N 52.119999°
W 25.718994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428543090820312 y=0.329757690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428543090820312 × 215)
    floor (0.428543090820312 × 32768)
    floor (14042.5)     		tx = 14042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329757690429688 × 215)
    floor (0.329757690429688 × 32768)
    floor (10805.5)     		ty = 10805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14042 / 10805 ti = "15/14042/10805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14042/10805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14042 ÷ 215
    14042 ÷ 32768     		x = 0.42852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10805 ÷ 215
    10805 ÷ 32768     		y = 0.329742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42852783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44907288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329742431640625 × 2 - 1) × π
    0.34051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06975985192117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44907288} λ = -0.44907288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06975985192117))-π/2
    2×atan(2.91467946125087)-π/2
    2×1.24028981773532-π/2
    2.48057963547063-1.57079632675     		φ = 0.90978331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44907288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90978331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.126744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14042 KachelY 10805 -0.44907288 0.90978331 -25.729981 52.126744
    Oben rechts KachelX + 1 14043 KachelY 10805 -0.44888113 0.90978331 -25.718994 52.126744
    Unten links KachelX 14042 KachelY + 1 10806 -0.44907288 0.90966558 -25.729981 52.119999
    Unten rechts KachelX + 1 14043 KachelY + 1 10806 -0.44888113 0.90966558 -25.718994 52.119999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90978331-0.90966558) × R
    0.000117730000000038 × 6371000     		dl = 750.057830000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90978331-0.90966558) × R
    0.000117730000000038 × 6371000     		dr = 750.057830000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44907288--0.44888113) × cos(0.90978331) × R
    0.000191749999999991 × 0.613916812643747 × 6371000     		do = 749.98487456046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44907288--0.44888113) × cos(0.90966558) × R
    0.000191749999999991 × 0.614009741004857 × 6371000     		du = 750.098399493831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90978331)-sin(0.90966558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613916812643747-0.614009741004857)×R²
    abs(-0.44888113--0.44907288)×9.29283611104115e-05×R²
    0.000191749999999991×9.29283611104115e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.29283611104115e-05×40589641000000     		ar = 562574.60332857m²