Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14041 / 3552
↖ ↑ ↗
← N 80.238500°
W 25.740967°		 ← 207.11 m → N 80.238500°
W 25.729981°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
N 80.236638°
W 25.740967°		 ← 207.15 m →
42 902 m²		 N 80.236638°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428512573242188 y=0.108413696289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428512573242188 × 215)
    floor (0.428512573242188 × 32768)
    floor (14041.5)     		tx = 14041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108413696289062 × 215)
    floor (0.108413696289062 × 32768)
    floor (3552.5)     		ty = 3552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14041 / 3552 ti = "15/14041/3552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14041/3552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14041 ÷ 215
    14041 ÷ 32768     		x = 0.428497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3552 ÷ 215
    3552 ÷ 32768     		y = 0.1083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1083984375 × 2 - 1) × π
    0.783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46050518369824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44926462} λ = -0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46050518369824))-π/2
    2×atan(11.7107261138092)-π/2
    2×1.48561117409006-π/2
    2.97122234818012-1.57079632675     		φ = 1.40042602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40042602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.238500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14041 KachelY 3552 -0.44926462 1.40042602 -25.740967 80.238500
    Oben rechts KachelX + 1 14042 KachelY 3552 -0.44907288 1.40042602 -25.729981 80.238500
    Unten links KachelX 14041 KachelY + 1 3553 -0.44926462 1.40039351 -25.740967 80.236638
    Unten rechts KachelX + 1 14042 KachelY + 1 3553 -0.44907288 1.40039351 -25.729981 80.236638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40042602-1.40039351) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40042602-1.40039351) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44926462--0.44907288) × cos(1.40042602) × R
    0.000191739999999996 × 0.169547306195044 × 6371000     		do = 207.114842120751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44926462--0.44907288) × cos(1.40039351) × R
    0.000191739999999996 × 0.169579345427285 × 6371000     		du = 207.153980463178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40042602)-sin(1.40039351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169547306195044-0.169579345427285)×R²
    abs(-0.44907288--0.44926462)×3.20392322414043e-05×R²
    0.000191739999999996×3.20392322414043e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.20392322414043e-05×40589641000000     		ar = 42901.9299031925m²