Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14041 / 3542
↖ ↑ ↗
← N 80.257110°
W 25.740967°		 ← 206.72 m → N 80.257110°
W 25.729981°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
N 80.255251°
W 25.740967°		 ← 206.76 m →
42 742 m²		 N 80.255251°
W 25.729981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428512573242188 y=0.108108520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428512573242188 × 215)
    floor (0.428512573242188 × 32768)
    floor (14041.5)     		tx = 14041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108108520507812 × 215)
    floor (0.108108520507812 × 32768)
    floor (3542.5)     		ty = 3542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14041 / 3542 ti = "15/14041/3542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14041/3542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14041 ÷ 215
    14041 ÷ 32768     		x = 0.428497314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3542 ÷ 215
    3542 ÷ 32768     		y = 0.10809326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.14300537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44926462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10809326171875 × 2 - 1) × π
    0.7838134765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46242265968304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44926462} λ = -0.44926462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46242265968304))-π/2
    2×atan(11.73320269216)-π/2
    2×1.48577357203861-π/2
    2.97154714407723-1.57079632675     		φ = 1.40075082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44926462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40075082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.257110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14041 KachelY 3542 -0.44926462 1.40075082 -25.740967 80.257110
    Oben rechts KachelX + 1 14042 KachelY 3542 -0.44907288 1.40075082 -25.729981 80.257110
    Unten links KachelX 14041 KachelY + 1 3543 -0.44926462 1.40071837 -25.740967 80.255251
    Unten rechts KachelX + 1 14042 KachelY + 1 3543 -0.44907288 1.40071837 -25.729981 80.255251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40075082-1.40071837) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40075082-1.40071837) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44926462--0.44907288) × cos(1.40075082) × R
    0.000191739999999996 × 0.169227199695644 × 6371000     		do = 206.72380785089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44926462--0.44907288) × cos(1.40071837) × R
    0.000191739999999996 × 0.169259181582363 × 6371000     		du = 206.762876141428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40075082)-sin(1.40071837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169227199695644-0.169259181582363)×R²
    abs(-0.44907288--0.44926462)×3.19818867182964e-05×R²
    0.000191739999999996×3.19818867182964e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.19818867182964e-05×40589641000000     		ar = 42741.9014470058m²