Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14041 / 16103
↖ ↑ ↗
← N 79.315378°
W141.435242°		 ← 56.63 m → N 79.315378°
W141.432495°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.314868°
W141.435242°		 ← 56.63 m →
3 207 m²		 N 79.314868°
W141.432495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107128143310547 y=0.122859954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107128143310547 × 217)
    floor (0.107128143310547 × 131072)
    floor (14041.5)     		tx = 14041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122859954833984 × 217)
    floor (0.122859954833984 × 131072)
    floor (16103.5)     		ty = 16103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14041 / 16103 ti = "17/14041/16103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14041/16103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14041 ÷ 217
    14041 ÷ 131072     		x = 0.107124328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16103 ÷ 217
    16103 ÷ 131072     		y = 0.122856140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.107124328613281 × 2 - 1) × π
    -0.785751342773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.46851065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122856140136719 × 2 - 1) × π
    0.754287719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.36966475891824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46851065} λ = -2.46851065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36966475891824))-π/2
    2×atan(10.6938066798042)-π/2
    2×1.47755540777451-π/2
    2.95511081554902-1.57079632675     		φ = 1.38431449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46851065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.435242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38431449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.315378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14041 KachelY 16103 -2.46851065 1.38431449 -141.435242 79.315378
    Oben rechts KachelX + 1 14042 KachelY 16103 -2.46846271 1.38431449 -141.432495 79.315378
    Unten links KachelX 14041 KachelY + 1 16104 -2.46851065 1.38430560 -141.435242 79.314868
    Unten rechts KachelX + 1 14042 KachelY + 1 16104 -2.46846271 1.38430560 -141.432495 79.314868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38431449-1.38430560) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38431449-1.38430560) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46851065--2.46846271) × cos(1.38431449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185402882139636 × 6371000     		do = 56.6268124755941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46851065--2.46846271) × cos(1.38430560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18541161800276 × 6371000     		du = 56.6294806330531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38431449)-sin(1.38430560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185402882139636-0.18541161800276)×R²
    abs(-2.46846271--2.46851065)×8.73586312344354e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73586312344354e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73586312344354e-06×40589641000000     		ar = 3207.31572387635m²