Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14040 / 16104
↖ ↑ ↗
← N 79.314868°
W141.437988°		 ← 56.62 m → N 79.314868°
W141.435242°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
N 79.314359°
W141.437988°		 ← 56.62 m →
3 207 m²		 N 79.314359°
W141.435242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.107120513916016 y=0.122867584228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.107120513916016 × 217)
    floor (0.107120513916016 × 131072)
    floor (14040.5)     		tx = 14040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122867584228516 × 217)
    floor (0.122867584228516 × 131072)
    floor (16104.5)     		ty = 16104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14040 / 16104 ti = "17/14040/16104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14040/16104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14040 ÷ 217
    14040 ÷ 131072     		x = 0.10711669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16104 ÷ 217
    16104 ÷ 131072     		y = 0.12286376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.7857666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46855858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12286376953125 × 2 - 1) × π
    0.7542724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36961682201862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46855858} λ = -2.46855858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36961682201862))-π/2
    2×atan(10.6932940641535)-π/2
    2×1.47755096385014-π/2
    2.95510192770027-1.57079632675     		φ = 1.38430560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46855858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38430560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.314868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14040 KachelY 16104 -2.46855858 1.38430560 -141.437988 79.314868
    Oben rechts KachelX + 1 14041 KachelY 16104 -2.46851065 1.38430560 -141.435242 79.314868
    Unten links KachelX 14040 KachelY + 1 16105 -2.46855858 1.38429671 -141.437988 79.314359
    Unten rechts KachelX + 1 14041 KachelY + 1 16105 -2.46851065 1.38429671 -141.435242 79.314359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38430560-1.38429671) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38430560-1.38429671) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46855858--2.46851065) × cos(1.38430560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18541161800276 × 6371000     		do = 56.617668058942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46855858--2.46851065) × cos(1.38429671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18542035385123 × 6371000     		du = 56.6203356553645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38430560)-sin(1.38429671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18541161800276-0.18542035385123)×R²
    abs(-2.46851065--2.46855858)×8.73584846997066e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.73584846997066e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.73584846997066e-06×40589641000000     		ar = 3206.79778479584m²