Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14040 / 10811
↖ ↑ ↗
← N 52.086258°
W 25.751953°		 ← 750.67 m → N 52.086258°
W 25.740967°		 →
↑
750.76 m
↓
↑
750.76 m
↓
N 52.079506°
W 25.751953°		 ← 750.78 m →
563 612 m²		 N 52.079506°
W 25.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428482055664062 y=0.329940795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428482055664062 × 215)
    floor (0.428482055664062 × 32768)
    floor (14040.5)     		tx = 14040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329940795898438 × 215)
    floor (0.329940795898438 × 32768)
    floor (10811.5)     		ty = 10811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14040 / 10811 ti = "15/14040/10811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14040/10811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14040 ÷ 215
    14040 ÷ 32768     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10811 ÷ 215
    10811 ÷ 32768     		y = 0.329925537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329925537109375 × 2 - 1) × π
    0.34014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06860936633029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06860936633029))-π/2
    2×atan(2.91132809274891)-π/2
    2×1.23993650613324-π/2
    2.47987301226647-1.57079632675     		φ = 0.90907669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90907669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.086258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14040 KachelY 10811 -0.44945637 0.90907669 -25.751953 52.086258
    Oben rechts KachelX + 1 14041 KachelY 10811 -0.44926462 0.90907669 -25.740967 52.086258
    Unten links KachelX 14040 KachelY + 1 10812 -0.44945637 0.90895885 -25.751953 52.079506
    Unten rechts KachelX + 1 14041 KachelY + 1 10812 -0.44926462 0.90895885 -25.740967 52.079506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90907669-0.90895885) × R
    0.000117840000000036 × 6371000     		dl = 750.758640000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90907669-0.90895885) × R
    0.000117840000000036 × 6371000     		dr = 750.758640000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44926462) × cos(0.90907669) × R
    0.000191749999999991 × 0.614474444473609 × 6371000     		do = 750.666099490869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44926462) × cos(0.90895885) × R
    0.000191749999999991 × 0.614567408510767 × 6371000     		du = 750.7796680075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90907669)-sin(0.90895885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614474444473609-0.614567408510767)×R²
    abs(-0.44926462--0.44945637)×9.29640371584162e-05×R²
    0.000191749999999991×9.29640371584162e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.29640371584162e-05×40589641000000     		ar = 563611.691873191m²