Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14039 / 4069
↖ ↑ ↗
← N 79.226922°
W 25.762940°		 ← 228.35 m → N 79.226922°
W 25.751953°		 →
↑
228.40 m
↓
↑
228.40 m
↓
N 79.224868°
W 25.762940°		 ← 228.39 m →
52 160 m²		 N 79.224868°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428451538085938 y=0.124191284179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428451538085938 × 215)
    floor (0.428451538085938 × 32768)
    floor (14039.5)     		tx = 14039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124191284179688 × 215)
    floor (0.124191284179688 × 32768)
    floor (4069.5)     		ty = 4069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14039 / 4069 ti = "15/14039/4069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14039/4069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14039 ÷ 215
    14039 ÷ 32768     		x = 0.428436279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4069 ÷ 215
    4069 ÷ 32768     		y = 0.124176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428436279296875 × 2 - 1) × π
    -0.14312744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44964812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124176025390625 × 2 - 1) × π
    0.75164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36137167528397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44964812} λ = -0.44964812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36137167528397))-π/2
    2×atan(10.6054887667328)-π/2
    2×1.4767834862311-π/2
    2.95356697246221-1.57079632675     		φ = 1.38277065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44964812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.762940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38277065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.226922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14039 KachelY 4069 -0.44964812 1.38277065 -25.762940 79.226922
    Oben rechts KachelX + 1 14040 KachelY 4069 -0.44945637 1.38277065 -25.751953 79.226922
    Unten links KachelX 14039 KachelY + 1 4070 -0.44964812 1.38273480 -25.762940 79.224868
    Unten rechts KachelX + 1 14040 KachelY + 1 4070 -0.44945637 1.38273480 -25.751953 79.224868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38277065-1.38273480) × R
    3.58500000001705e-05 × 6371000     		dl = 228.400350001086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38277065-1.38273480) × R
    3.58500000001705e-05 × 6371000     		dr = 228.400350001086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44964812--0.44945637) × cos(1.38277065) × R
    0.000191749999999991 × 0.186919734405807 × 6371000     		do = 228.348484149698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44964812--0.44945637) × cos(1.38273480) × R
    0.000191749999999991 × 0.186954952436226 × 6371000     		du = 228.391507877965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38277065)-sin(1.38273480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186919734405807-0.186954952436226)×R²
    abs(-0.44945637--0.44964812)×3.52180304184768e-05×R²
    0.000191749999999991×3.52180304184768e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.52180304184768e-05×40589641000000     		ar = 52159.787024787m²