Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14038 / 7347
↖ ↑ ↗
← N 69.949142°
W 25.773926°		 ← 418.84 m → N 69.949142°
W 25.762940°		 →
↑
418.89 m
↓
↑
418.89 m
↓
N 69.945375°
W 25.773926°		 ← 418.92 m →
175 467 m²		 N 69.945375°
W 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428421020507812 y=0.224227905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428421020507812 × 215)
    floor (0.428421020507812 × 32768)
    floor (14038.5)     		tx = 14038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224227905273438 × 215)
    floor (0.224227905273438 × 32768)
    floor (7347.5)     		ty = 7347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14038 / 7347 ti = "15/14038/7347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14038/7347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14038 ÷ 215
    14038 ÷ 32768     		x = 0.42840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7347 ÷ 215
    7347 ÷ 32768     		y = 0.224212646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44983987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224212646484375 × 2 - 1) × π
    0.55157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73282304746579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44983987} λ = -0.44983987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73282304746579))-π/2
    2×atan(5.65660024018515)-π/2
    2×1.3958195835423-π/2
    2.79163916708461-1.57079632675     		φ = 1.22084284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44983987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22084284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.949142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14038 KachelY 7347 -0.44983987 1.22084284 -25.773926 69.949142
    Oben rechts KachelX + 1 14039 KachelY 7347 -0.44964812 1.22084284 -25.762940 69.949142
    Unten links KachelX 14038 KachelY + 1 7348 -0.44983987 1.22077709 -25.773926 69.945375
    Unten rechts KachelX + 1 14039 KachelY + 1 7348 -0.44964812 1.22077709 -25.762940 69.945375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22084284-1.22077709) × R
    6.57500000000866e-05 × 6371000     		dl = 418.893250000552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22084284-1.22077709) × R
    6.57500000000866e-05 × 6371000     		dr = 418.893250000552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44983987--0.44964812) × cos(1.22084284) × R
    0.000191749999999991 × 0.34285411384888 × 6371000     		do = 418.84404250174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44983987--0.44964812) × cos(1.22077709) × R
    0.000191749999999991 × 0.342915877912213 × 6371000     		du = 418.919495905747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22084284)-sin(1.22077709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34285411384888-0.342915877912213)×R²
    abs(-0.44964812--0.44983987)×6.17640633334693e-05×R²
    0.000191749999999991×6.17640633334693e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.17640633334693e-05×40589641000000     		ar = 175466.745730817m²