Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14036 / 11093
↖ ↑ ↗
← N 50.141706°
W 25.795898°		 ← 782.94 m → N 50.141706°
W 25.784912°		 →
↑
783 m
↓
↑
783 m
↓
N 50.134664°
W 25.795898°		 ← 783.05 m →
613 082 m²		 N 50.134664°
W 25.784912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428359985351562 y=0.338546752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428359985351562 × 215)
    floor (0.428359985351562 × 32768)
    floor (14036.5)     		tx = 14036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338546752929688 × 215)
    floor (0.338546752929688 × 32768)
    floor (11093.5)     		ty = 11093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14036 / 11093 ti = "15/14036/11093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14036/11093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14036 ÷ 215
    14036 ÷ 32768     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11093 ÷ 215
    11093 ÷ 32768     		y = 0.338531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338531494140625 × 2 - 1) × π
    0.32293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01453654355887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01453654355887))-π/2
    2×atan(2.75808484893499)-π/2
    2×1.22296709347102-π/2
    2.44593418694203-1.57079632675     		φ = 0.87513786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87513786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.141706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14036 KachelY 11093 -0.45022336 0.87513786 -25.795898 50.141706
    Oben rechts KachelX + 1 14037 KachelY 11093 -0.45003161 0.87513786 -25.784912 50.141706
    Unten links KachelX 14036 KachelY + 1 11094 -0.45022336 0.87501496 -25.795898 50.134664
    Unten rechts KachelX + 1 14037 KachelY + 1 11094 -0.45003161 0.87501496 -25.784912 50.134664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87513786-0.87501496) × R
    0.000122900000000037 × 6371000     		dl = 782.995900000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87513786-0.87501496) × R
    0.000122900000000037 × 6371000     		dr = 782.995900000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.45003161) × cos(0.87513786) × R
    0.000191749999999991 × 0.640891038525248 × 6371000     		do = 782.937647635666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.45003161) × cos(0.87501496) × R
    0.000191749999999991 × 0.640985375640804 × 6371000     		du = 783.052893558761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87513786)-sin(0.87501496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640891038525248-0.640985375640804)×R²
    abs(-0.45003161--0.45022336)×9.43371155562867e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43371155562867e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43371155562867e-05×40589641000000     		ar = 613082.087368477m²