Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14035 / 11094
↖ ↑ ↗
← N 50.134664°
W 25.806885°		 ← 783.05 m → N 50.134664°
W 25.795898°		 →
↑
783.06 m
↓
↑
783.06 m
↓
N 50.127622°
W 25.806885°		 ← 783.17 m →
613 222 m²		 N 50.127622°
W 25.795898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428329467773438 y=0.338577270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428329467773438 × 215)
    floor (0.428329467773438 × 32768)
    floor (14035.5)     		tx = 14035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338577270507812 × 215)
    floor (0.338577270507812 × 32768)
    floor (11094.5)     		ty = 11094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14035 / 11094 ti = "15/14035/11094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14035/11094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14035 ÷ 215
    14035 ÷ 32768     		x = 0.428314208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11094 ÷ 215
    11094 ÷ 32768     		y = 0.33856201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428314208984375 × 2 - 1) × π
    -0.14337158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45041511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33856201171875 × 2 - 1) × π
    0.3228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01434479596039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45041511} λ = -0.45041511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01434479596039))-π/2
    2×atan(2.757556043489)-π/2
    2×1.22290564429013-π/2
    2.44581128858026-1.57079632675     		φ = 0.87501496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45041511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.806885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87501496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.134664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14035 KachelY 11094 -0.45041511 0.87501496 -25.806885 50.134664
    Oben rechts KachelX + 1 14036 KachelY 11094 -0.45022336 0.87501496 -25.795898 50.134664
    Unten links KachelX 14035 KachelY + 1 11095 -0.45041511 0.87489205 -25.806885 50.127622
    Unten rechts KachelX + 1 14036 KachelY + 1 11095 -0.45022336 0.87489205 -25.795898 50.127622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87501496-0.87489205) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dl = 783.059609999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87501496-0.87489205) × R
    0.000122909999999976 × 6371000     		dr = 783.059609999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45041511--0.45022336) × cos(0.87501496) × R
    0.000191749999999991 × 0.640985375640804 × 6371000     		do = 783.052893558761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45041511--0.45022336) × cos(0.87489205) × R
    0.000191749999999991 × 0.641079710749398 × 6371000     		du = 783.168137030072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87501496)-sin(0.87489205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640985375640804-0.641079710749398)×R²
    abs(-0.45022336--0.45041511)×9.43351085934685e-05×R²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.43351085934685e-05×40589641000000     		ar = 613222.21546523m²