Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14033 / 7354
↖ ↑ ↗
← N 69.922759°
W 25.828857°		 ← 419.35 m → N 69.922759°
W 25.817871°		 →
↑
419.40 m
↓
↑
419.40 m
↓
N 69.918987°
W 25.828857°		 ← 419.43 m →
175 893 m²		 N 69.918987°
W 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428268432617188 y=0.224441528320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428268432617188 × 215)
    floor (0.428268432617188 × 32768)
    floor (14033.5)     		tx = 14033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224441528320312 × 215)
    floor (0.224441528320312 × 32768)
    floor (7354.5)     		ty = 7354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14033 / 7354 ti = "15/14033/7354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14033/7354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14033 ÷ 215
    14033 ÷ 32768     		x = 0.428253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7354 ÷ 215
    7354 ÷ 32768     		y = 0.22442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.14349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45079860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22442626953125 × 2 - 1) × π
    0.5511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73148081427643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45079860} λ = -0.45079860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73148081427643))-π/2
    2×atan(5.64901285676186)-π/2
    2×1.39558934334329-π/2
    2.79117868668657-1.57079632675     		φ = 1.22038236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45079860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22038236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.922759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14033 KachelY 7354 -0.45079860 1.22038236 -25.828857 69.922759
    Oben rechts KachelX + 1 14034 KachelY 7354 -0.45060686 1.22038236 -25.817871 69.922759
    Unten links KachelX 14033 KachelY + 1 7355 -0.45079860 1.22031653 -25.828857 69.918987
    Unten rechts KachelX + 1 14034 KachelY + 1 7355 -0.45060686 1.22031653 -25.817871 69.918987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22038236-1.22031653) × R
    6.58300000000445e-05 × 6371000     		dl = 419.402930000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22038236-1.22031653) × R
    6.58300000000445e-05 × 6371000     		dr = 419.402930000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45079860--0.45060686) × cos(1.22038236) × R
    0.000191739999999996 × 0.343286647174553 × 6371000     		do = 419.350571397035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45079860--0.45060686) × cos(1.22031653) × R
    0.000191739999999996 × 0.343348475986608 × 6371000     		du = 419.426099961509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22038236)-sin(1.22031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343286647174553-0.343348475986608)×R²
    abs(-0.45060686--0.45079860)×6.18288120551314e-05×R²
    0.000191739999999996×6.18288120551314e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.18288120551314e-05×40589641000000     		ar = 175892.696854857m²