Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14033 / 10809
↖ ↑ ↗
← N 52.099757°
W 25.828857°		 ← 750.40 m → N 52.099757°
W 25.817871°		 →
↑
750.50 m
↓
↑
750.50 m
↓
N 52.093008°
W 25.828857°		 ← 750.51 m →
563 221 m²		 N 52.093008°
W 25.817871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428268432617188 y=0.329879760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428268432617188 × 215)
    floor (0.428268432617188 × 32768)
    floor (14033.5)     		tx = 14033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329879760742188 × 215)
    floor (0.329879760742188 × 32768)
    floor (10809.5)     		ty = 10809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14033 / 10809 ti = "15/14033/10809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14033/10809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14033 ÷ 215
    14033 ÷ 32768     		x = 0.428253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10809 ÷ 215
    10809 ÷ 32768     		y = 0.329864501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.14349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45079860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329864501953125 × 2 - 1) × π
    0.34027099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06899286152725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45079860} λ = -0.45079860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06899286152725))-π/2
    2×atan(2.91244478719905)-π/2
    2×1.24005431230966-π/2
    2.48010862461931-1.57079632675     		φ = 0.90931230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45079860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90931230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.099757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14033 KachelY 10809 -0.45079860 0.90931230 -25.828857 52.099757
    Oben rechts KachelX + 1 14034 KachelY 10809 -0.45060686 0.90931230 -25.817871 52.099757
    Unten links KachelX 14033 KachelY + 1 10810 -0.45079860 0.90919450 -25.828857 52.093008
    Unten rechts KachelX + 1 14034 KachelY + 1 10810 -0.45060686 0.90919450 -25.817871 52.093008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90931230-0.90919450) × R
    0.000117799999999946 × 6371000     		dl = 750.503799999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90931230-0.90919450) × R
    0.000117799999999946 × 6371000     		dr = 750.503799999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45079860--0.45060686) × cos(0.90931230) × R
    0.000191739999999996 × 0.614288546038022 × 6371000     		do = 750.399862342195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45079860--0.45060686) × cos(0.90919450) × R
    0.000191739999999996 × 0.614381495573968 × 6371000     		du = 750.513407221762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90931230)-sin(0.90919450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614288546038022-0.614381495573968)×R²
    abs(-0.45060686--0.45079860)×9.29495359466292e-05×R²
    0.000191739999999996×9.29495359466292e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.29495359466292e-05×40589641000000     		ar = 563220.556790266m²