Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14030 / 4803
↖ ↑ ↗
← N 77.610639°
W 25.861817°		 ← 262.11 m → N 77.610639°
W 25.850830°		 →
↑
262.10 m
↓
↑
262.10 m
↓
N 77.608282°
W 25.861817°		 ← 262.16 m →
68 706 m²		 N 77.608282°
W 25.850830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428176879882812 y=0.146591186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428176879882812 × 215)
    floor (0.428176879882812 × 32768)
    floor (14030.5)     		tx = 14030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146591186523438 × 215)
    floor (0.146591186523438 × 32768)
    floor (4803.5)     		ty = 4803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14030 / 4803 ti = "15/14030/4803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14030/4803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14030 ÷ 215
    14030 ÷ 32768     		x = 0.42816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4803 ÷ 215
    4803 ÷ 32768     		y = 0.146575927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146575927734375 × 2 - 1) × π
    0.70684814453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22062893799948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45137385} λ = -0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22062893799948))-π/2
    2×atan(9.21312352755918)-π/2
    2×1.46267876082671-π/2
    2.92535752165342-1.57079632675     		φ = 1.35456119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35456119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.610639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14030 KachelY 4803 -0.45137385 1.35456119 -25.861817 77.610639
    Oben rechts KachelX + 1 14031 KachelY 4803 -0.45118210 1.35456119 -25.850830 77.610639
    Unten links KachelX 14030 KachelY + 1 4804 -0.45137385 1.35452005 -25.861817 77.608282
    Unten rechts KachelX + 1 14031 KachelY + 1 4804 -0.45118210 1.35452005 -25.850830 77.608282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35456119-1.35452005) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dl = 262.102939999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35456119-1.35452005) × R
    4.11399999999951e-05 × 6371000     		dr = 262.102939999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45137385--0.45118210) × cos(1.35456119) × R
    0.000191750000000046 × 0.214553964748756 × 6371000     		do = 262.10754458026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45137385--0.45118210) × cos(1.35452005) × R
    0.000191750000000046 × 0.214594146504445 × 6371000     		du = 262.156632190144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35456119)-sin(1.35452005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214553964748756-0.214594146504445)×R²
    abs(-0.45118210--0.45137385)×4.01817556890671e-05×R²
    0.000191750000000046×4.01817556890671e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.01817556890671e-05×40589641000000     		ar = 68705.5910441738m²