Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14030 / 11126
↖ ↑ ↗
← N 49.908787°
W 25.861817°		 ← 786.74 m → N 49.908787°
W 25.850830°		 →
↑
786.82 m
↓
↑
786.82 m
↓
N 49.901711°
W 25.861817°		 ← 786.86 m →
619 070 m²		 N 49.901711°
W 25.850830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428176879882812 y=0.339553833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428176879882812 × 215)
    floor (0.428176879882812 × 32768)
    floor (14030.5)     		tx = 14030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339553833007812 × 215)
    floor (0.339553833007812 × 32768)
    floor (11126.5)     		ty = 11126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14030 / 11126 ti = "15/14030/11126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14030/11126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14030 ÷ 215
    14030 ÷ 32768     		x = 0.42816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11126 ÷ 215
    11126 ÷ 32768     		y = 0.33953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33953857421875 × 2 - 1) × π
    0.3209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00820887280902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45137385} λ = -0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00820887280902))-π/2
    2×atan(2.74068769588664)-π/2
    2×1.22093449280901-π/2
    2.44186898561802-1.57079632675     		φ = 0.87107266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87107266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.908787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14030 KachelY 11126 -0.45137385 0.87107266 -25.861817 49.908787
    Oben rechts KachelX + 1 14031 KachelY 11126 -0.45118210 0.87107266 -25.850830 49.908787
    Unten links KachelX 14030 KachelY + 1 11127 -0.45137385 0.87094916 -25.861817 49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 14031 KachelY + 1 11127 -0.45118210 0.87094916 -25.850830 49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87107266-0.87094916) × R
    0.000123500000000054 × 6371000     		dl = 786.818500000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87107266-0.87094916) × R
    0.000123500000000054 × 6371000     		dr = 786.818500000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45137385--0.45118210) × cos(0.87107266) × R
    0.000191750000000046 × 0.644006311351126 × 6371000     		do = 786.743387194445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45137385--0.45118210) × cos(0.87094916) × R
    0.000191750000000046 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 786.858801660716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87107266)-sin(0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644006311351126-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.45118210--0.45137385)×9.44750803244521e-05×R²
    0.000191750000000046×9.44750803244521e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.44750803244521e-05×40589641000000     		ar = 619069.657703072m²