Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1403 / 755
↖ ↑ ↗
← N 81.181231°
W118.344727°		 ← 749.15 m → N 81.181231°
W118.300781°		 →
↑
749.42 m
↓
↑
749.42 m
↓
N 81.174491°
W118.344727°		 ← 749.71 m →
561 638 m²		 N 81.174491°
W118.300781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.17132568359375 y=0.09222412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.17132568359375 × 213)
    floor (0.17132568359375 × 8192)
    floor (1403.5)     		tx = 1403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09222412109375 × 213)
    floor (0.09222412109375 × 8192)
    floor (755.5)     		ty = 755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1403 / 755 ti = "13/1403/755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1403/755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1403 ÷ 213
    1403 ÷ 8192     		x = 0.1712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 755 ÷ 213
    755 ÷ 8192     		y = 0.0921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.06550513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0921630859375 × 2 - 1) × π
    0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06550513} λ = -2.06550513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56251490608972))-π/2
    2×atan(12.9683906235226)-π/2
    2×1.49383804748372-π/2
    2.98767609496743-1.57079632675     		φ = 1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06550513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.344727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1403 KachelY 755 -2.06550513 1.41687977 -118.344727 81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 1404 KachelY 755 -2.06473814 1.41687977 -118.300781 81.181231
    Unten links KachelX 1403 KachelY + 1 756 -2.06550513 1.41676214 -118.344727 81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 1404 KachelY + 1 756 -2.06473814 1.41676214 -118.300781 81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41687977-1.41676214) × R
    0.000117630000000091 × 6371000     		dl = 749.420730000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41687977-1.41676214) × R
    0.000117630000000091 × 6371000     		dr = 749.420730000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06550513--2.06473814) × cos(1.41687977) × R
    0.000766989999999801 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 749.146109413238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06550513--2.06473814) × cos(1.41676214) × R
    0.000766989999999801 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 749.714107292732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41687977)-sin(1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.15342579285378)×R²
    abs(-2.06473814--2.06550513)×0.000116238342260044×R²
    0.000766989999999801×0.000116238342260044×6371000²
    0.000766989999999801×0.000116238342260044×40589641000000     		ar = 561638.459536561m²